Δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση

#1

Έστω $f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$ μία συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη, η οποία ικανοποιεί τίς συνθήκες:
f(0)=0

, $f^{\prime}(0)=0$ , $f^{\prime\prime}(0)>0$ .

i) Νά αποδειχθεί πλήρως ότι υπάρχει $\delta>0$ , τέτοιο ώστε γιά κάθε $0<|x|<\delta$ , νά ισχύει $\displaystyle\frac{f^{\prime}(x)}{x}>0$ .

ii) Νά αποδειχθεί ότι υπάρχει $\delta>0$ , τέτοιο ώστε γιά κάθε $0<|x|<\delta$ , νά ισχύουν $f^{\prime}(x)\neq0$ καί $f(x)\neq0$ .

iii) Νά αποδειχθεί ότι υπάρχει $\delta>0$ , τέτοιο ώστε γιά κάθε $0<|x|<\delta$ , νά ισχύει f(x)>0

.

Θέμα εξετάσεων Σ Ντούγια

#2

grigkost έγραψε:Έστω $f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$ μία συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη, η οποία ικανοποιεί τίς συνθήκες:
, $f^{\prime}(0)=0$ , $f^{\prime\prime}(0)>0$ .

i) Νά αποδειχθεί πλήρως ότι υπάρχει $\delta>0$ , τέτοιο ώστε γιά κάθε $0<|x|<\delta$ , νά ισχύει $\displaystyle\frac{f^{\prime}(x)}{x}>0$ .

ii) Νά αποδειχθεί ότι υπάρχει $\delta>0$ , τέτοιο ώστε γιά κάθε $0<|x|<\delta$ , νά ισχύουν $f^{\prime}(x)\neq0$ καί $f(x)\neq0$ .

iii) Νά αποδειχθεί ότι υπάρχει $\delta>0$ , τέτοιο ώστε γιά κάθε $0<|x|<\delta$ , νά ισχύει .

Θέμα εξετάσεων Σ Ντούγια

Ωραία άσκηση για ΑΣΕΠ ή υποψήφιους ΑΕΙ ή για Απειροστικό σε πρωτοετείς.

Λύση:
ι) Από ορισμό της παραγώγου στο 0 είναι
lim f ’(x) /x = lim (f ’(x) – f ‘(0))/(x-0) = f ’’(0) > 0 .
Άρα υπάρχει περιοχή του 0 (εξαιρουμένου του 0) με f ’(x) /x > 0.

ιι) Το f ‘ (x) =/= 0 βγαίνει από το ι) , για την ίδια περιοχή. Επίσης βγαίνει ότι
f ‘ (x) > 0 αν 0 < x < δ και f ‘ (x) < 0 αν -δ < x < 0. Έτσι η f είναι γνήσια φθίνουσα στο -δ < x < 0 και γνήσια αύξουσα στο 0 < x < δ. Έπεται το ιιι) (και το υπόλοιπο του ιι) διότι f(0) = 0.

Φιλικά ,
Μιχάλης Λάμπρου

#3

Νά προσθέσω στήν ολοκληρωμένη λύση τού Μιχάλη Λάμπρου, τήν παρακάτω Πρόταση - πού χρησιμοποιείται σέ αρκετά σημεία τής άσκησης - καί τήν απόδειξή της ( γιά νά αιτιολογηθεί τόσο τό "πλήρως" τής εκφώνησης, όσο καί η επιλογή καταχώρησης τής άσκησης σάν θέμα γιά Α.Ε.Ι. )

ΠΡΟΤΑΣΗ: Άν γιά μιά συνεχή συνάρτηση $g:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$ ισχύει $\mathop{\lim}\limits_{x\to0}{g(x)}>0$ , τότε υπάρχει $\delta>0$ , τέτοιο ώστε γιά κάθε $0<|x|<\delta$ , νά ισχύει g(x)>0

.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ: $\mathop{\lim}\limits_{x\to0}{g(x)}=g(0)>0$ . Τότε $\left( {\forall\,\varepsilon>0}\right)\left( {\exists\,\delta>0}\right)\left( {\forall\,x\in\mathbb{R}^{*}}\right)$ , άν $0<|x|<\delta$ , τότε $\left|{g(x)-g(0)}\right|<\varepsilon$ $\Leftrightarrow$ $-\varepsilon<g(x)-g(0)<\varepsilon$ $\Leftrightarrow$ $g(0)-\varepsilon<g(x)<g(0)+\varepsilon$ .

Επιλέγωντας $\varepsilon=\displaystyle\frac{g(0)}{2}>0$ , προκύπτει τό ζητούμενο. $\square$

Δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση

Δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση

Re: Δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση

Re: Δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση