grigkost έγραψε: ↑Σάβ Μάιος 27, 2023 7:46 am
Δίνεται το πρόβλημα αρχικών τιμών
Να εξετασθεί η αλήθεια των προτάσεων:
- Το π.α.τ. έχει ακριβώς μια λύση η οποία ορίζεται σε ολόκληρο το διάστημα .
- Ισχύει .
edit: 27/5/23, 10:55. Διορθώθηκε τυπογραφικό.
Αν θέσουμε
τότε για
είναι
Αρα η
είναι γνησίως φθίνουσα οπότε το ii προκύπτει άμεσα .
Το i έχει ενδιαφέρον.
Στην ουσία μας ζητάει να βρούμε το μέγιστο διάστημα που ορίζεται η μοναδική λύση.
Η μοναδικότητα εξασφαλίζεται από το θεώρημα Picard-Lindelof.
Θα δώσω μια πρόταση που δίνει το μέγιστο διάστημα που ορίζεται η μοναδική λύση και η οποία μπορεί
να εφαρμοσθεί εδώ ,αλλά είναι γενικότερη.
Εν καιρό θα γράψω και την απόδειξη.
Εστω
ανοικτό διάστημα και
συνεχής συνάρτηση που πληρεί τα παρακάτω
Για κάθε
υπάρχουν σταθερές
ώστε
1)Για
είναι
2)Για
και
είναι
Για
το Π.Α.Τ
έχει μοναδική λύση