Γινόμενο #8

Tolaso J Kos · #1

Έστω $\mathbb{N} \ni b \geq 2$ και $\left | \alpha \right | < 1$ . Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\prod_{n=1}^{\infty} \left ( 1 + \alpha^{1 \cdot b^n} + \cdots + \alpha^{\left ( b-1 \right ) \cdot b^n} \right ) = \frac{1}{1-\alpha}}$

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 22, 2023 8:47 am
Έστω $\mathbb{N} \ni b \geq 2$ και $\left | \alpha \right | < 1$ . Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\prod_{n=1}^{\infty} \left ( 1 + \alpha^{1 \cdot b^n} + \cdots + \alpha^{\left ( b-1 \right ) \cdot b^n} \right ) = \frac{1}{1-\alpha}}$

(Kάνω και μικρή τυπογραφική διόρθωση στο αποτέλεσμα)

Γράφοντας (για ευκολία και μόνο, αλλά περιττεύει) $a^{b^n}=x$ , ο τυπικός παράγοντας είναι $1+x+x^2+...+x^{b-1} =\dfrac {1-x^b}{1-x}$ . Δηλαδή $\dfrac { 1-(a^{b^n} )^b}{1-a^{b^n}} = \dfrac {1-a^{b^{n+1}}}{1-a^{b^n}}$ .

Άρα το μερικό γινόμενο

όρων ισούται (τηλεσκοπικά) με $\dfrac {\,\,1-a^{b^{N+1}}}{1-a^b} \longrightarrow \dfrac {1-0}{1-a^b}$

(Aν το γινόμενο άρχιζε από το n=0

, η απάντηση θα ήταν όσο γράφει η εκφώνηση).

Γινόμενο #8

Γινόμενο #8

Re: Γινόμενο #8

Μέλη σε σύνδεση