Ένα όριο
Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5226
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
-
- Δημοσιεύσεις: 4
- Εγγραφή: Παρ Απρ 02, 2021 12:02 pm
Re: Ένα όριο
Αφού έχουμε ότι .
Θεωρούμε την απεικόνιση . Προφανώς, η είναι συνεχώς παραγωγίσιμη, γνησίως φθίνουσα και το σύνολο τιμών της είναι το κλειστό διάστημα .
Από την Αρχιμήδεια ιδιότητα των πραγματικών αριθμών έχουμε ότι υπάρχει τέτοιο ώστε για κάθε ισχύει . Επομένως, από το Θεώρημα Ενδιάμεσης Τιμής έχουμε ότι για κάθε υπάρχει ώστε . Εκμεταλλευόμενοι της γνήσιας μονοτονίας της μπορούμε μάλιστα να συμπεράνουμε ότι η ακολουθία είναι γνησίως αύξουσα. Προφανώς και ως εκ τούτου το σύνολο είναι άπειρο.
Σταθεροποιούμε τυχόν. Εφαρμόζουμε το Θεώρημα Μέσης Τιμής στην απεικόνιση στο διάστημα .
Τότε, υπάρχει τέτοιο ώστε . Επομένως
. Θα αποδείξουμε ότι . Τότε από το κριτήριο παρεμβολής έχουμε ότι και και άρα λόγω της συνέχειας της έχουμε ότι . Καταφέραμε λοιπόν να υπολογίσουμε το ζητούμενο όριο.
Ξέρουμε ότι η ακολουθία είναι γνησίως αύξουσα και άνω φραγμένη από το 1. Επομένως υπάρχει το όριο . Έχουμε τότε ότι και άρα αναγκαστικά έχουμε ότι .
Θεωρούμε την απεικόνιση . Προφανώς, η είναι συνεχώς παραγωγίσιμη, γνησίως φθίνουσα και το σύνολο τιμών της είναι το κλειστό διάστημα .
Από την Αρχιμήδεια ιδιότητα των πραγματικών αριθμών έχουμε ότι υπάρχει τέτοιο ώστε για κάθε ισχύει . Επομένως, από το Θεώρημα Ενδιάμεσης Τιμής έχουμε ότι για κάθε υπάρχει ώστε . Εκμεταλλευόμενοι της γνήσιας μονοτονίας της μπορούμε μάλιστα να συμπεράνουμε ότι η ακολουθία είναι γνησίως αύξουσα. Προφανώς και ως εκ τούτου το σύνολο είναι άπειρο.
Σταθεροποιούμε τυχόν. Εφαρμόζουμε το Θεώρημα Μέσης Τιμής στην απεικόνιση στο διάστημα .
Τότε, υπάρχει τέτοιο ώστε . Επομένως
. Θα αποδείξουμε ότι . Τότε από το κριτήριο παρεμβολής έχουμε ότι και και άρα λόγω της συνέχειας της έχουμε ότι . Καταφέραμε λοιπόν να υπολογίσουμε το ζητούμενο όριο.
Ξέρουμε ότι η ακολουθία είναι γνησίως αύξουσα και άνω φραγμένη από το 1. Επομένως υπάρχει το όριο . Έχουμε τότε ότι και άρα αναγκαστικά έχουμε ότι .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες