Γινόμενο #7

Tolaso J Kos · #1

Έστω $\mathcal{F}_n$ ο

- οστός αριθμός Fibonacci και $\mathcal{L}_n$ ο

- οστός αριθμός Lucas. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\prod_{n=1}^{\infty} \left ( 1 + \frac{1}{\mathcal{F}_{2^n +1} \mathcal{L}_{2^n+1}} \right ) = \frac{3}{\varphi^2}}$

Tolaso J Kos · #2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 04, 2023 10:51 am
Έστω $\mathcal{F}_n$ ο - οστός αριθμός Fibonacci και $\mathcal{L}_n$ ο - οστός αριθμός Lucas. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\prod_{n=1}^{\infty} \left ( 1 + \frac{1}{\mathcal{F}_{2^n +1} \mathcal{L}_{2^n+1}} \right ) = \frac{3}{\varphi^2}}$

Δίδω μία απάντηση. Ενεργοποιούμε τη σχέση $\mathcal{F}_n \mathcal{L}_n = \mathcal{F}_{2n}$ . Συνεπώς, $\mathcal{F}_{2^n+1} \mathcal{L}_{2^n+1}=\mathcal{F}_{2^{n+1}+2}$ .

Λήμμα: Έστω a, b

θετικοί αριθμοί. Ισχύει:

$\displaystyle \prod_{n=1}^{\infty} \left ( 1 + \frac{\mathcal{F}_b}{\mathcal{F}_{2^n a + b}} \right ) = \frac{1 - (-1)^b \varphi^{-2a-2b}}{1 - \varphi^{-2a}}$
Απόδειξη: Από τη φόρμουλα Binet έχουμε:

$\displaystyle{\begin{aligned} \prod_{n=1}^{\infty} \left ( 1 + \frac{\mathcal{F}_b}{\mathcal{F}_{2^n a + b}} \right ) &= \prod_{n=1}^{\infty} \left ( 1 + \frac{\varphi^b - (-1)^b \varphi^{-b}}{\varphi^{2^n a + b} - (-1)^b \varphi^{-2^n a - b}} \right ) \\ &=\prod_{n=1}^{\infty} \left ( 1 + \frac{\varphi^{-2^n a - b} \left ( \varphi^b - (-1)^b \varphi^{-b} \right )}{1 - (-1)^b \varphi^{-2^{n+1}a - 2b}} \right ) \\ &=\prod_{n=1}^{\infty} \left ( 1 + \varphi^{-2^n a} \right ) \frac{1 - (-1)^b \varphi^{-2^n a - 2b}}{1 - (-1)^b \varphi^{-2^{n+1}a - 2b}} \\ &= \frac{1 - (-1)^b \varphi^{-2a-2b}}{1 - \varphi^{-2a}} \end{aligned}}$
λόγω απλοποιήσεων και του γεγονότος $\displaystyle{ \prod_{n=1}^{\infty} \left ( 1 + x^{2^n} \right ) = \frac{1}{1-x^2} \;, \; \left | x \right | < 1}$ .

Το παραπάνω ολοκληρώνει την απόδειξη του λήμματος. $\blacklozenge$ Για a=b=2

έχουμε το ζητούμενο.

Γινόμενο #7

Γινόμενο #7

Re: Γινόμενο #7

Μέλη σε σύνδεση