Όγκος χωρίς διπλά ολοκληρώματα

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1753
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Όγκος χωρίς διπλά ολοκληρώματα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από orestisgotsis » Πέμ Μαρ 02, 2023 4:42 pm

Περιττό
τελευταία επεξεργασία από orestisgotsis σε Παρ Φεβ 09, 2024 12:49 am, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 2346
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Όγκος χωρίς διπλά ολοκληρώματα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Πέμ Μαρ 02, 2023 10:43 pm

orestisgotsis έγραψε:
Πέμ Μαρ 02, 2023 4:42 pm
Βρείτε τον όγκο του στερεού από την ανισότητα {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+\ln (1+{{z}^{2}})\le \ln 2.
"Σημειώστε ότι δεν μπορείτε να χρησιμοποιήσετε ευθέως το διπλό ολοκλήρωμα εδώ το οποίο

οι μαθητές του Λυκείου στην Ιαπωνία δεν το μελετούν".
Ορέστη καλησπέρα...

Σαν αρχή της κουβέντας παραθέτω το στερεό αυτό με το ακόλουθο σχήμα:
Όγκος Στερεού χωρίς διπλά ολοκληρώματα 1.png
Όγκος Στερεού χωρίς διπλά ολοκληρώματα 1.png (68.45 KiB) Προβλήθηκε 579 φορές
Ασφαλώς το "δεν μπορείτε να χρησιμοποιήσετε ευθέως το διπλό ολοκλήρωμα " δεν αποκλείει
τη χρήση του απλού ολοκληρώματος!

Σημειώνω ακόμα ότι το στερεό αυτό δεν είναι ελλειψοειδές και ότι η ακτίνα που έχω σημειώσει
είναι η ακτίνα του κύκλου στο οριζόντιο επίπεδο, δηλαδή η τομή του στερεού αυτού με το οριζόντιο
επίπεδο καθώς και το σημείο \displaystyle{O} είναι η αρχή των αξόνων.

(Συνεχίζεται...)

Κώστας Δόρτσιος
τελευταία επεξεργασία από KDORTSI σε Κυρ Μαρ 05, 2023 7:11 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 2346
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Όγκος χωρίς διπλά ολοκληρώματα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Κυρ Μαρ 05, 2023 3:31 am

orestisgotsis έγραψε:
Πέμ Μαρ 02, 2023 4:42 pm
Βρείτε τον όγκο του στερεού από την ανισότητα {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+\ln (1+{{z}^{2}})\le \ln 2.
"Σημειώστε ότι δεν μπορείτε να χρησιμοποιήσετε ευθέως το διπλό ολοκλήρωμα εδώ το οποίο

οι μαθητές του Λυκείου στην Ιαπωνία δεν το μελετούν"
Καλημέρα

(Συνέχεια...)

Παραθέτω ακόμα μερικά στοιχεία του στερεού αυτού.

Σχήμα 1
Όγκος στερεού χωρίς διπλά ολοκληρώματα 2.png
Όγκος στερεού χωρίς διπλά ολοκληρώματα 2.png (62.66 KiB) Προβλήθηκε 467 φορές
Το στερεό αυτό παράγεταιαό την περιστροφή της καμπύλης με κόκκινο χρώμα γύρω

από τον άξονα των \displaystyle{z} κατά μία πλήρη γωνία.

Σχήμα 2
Όγκος στερεού χωρίς διπλά ολοκληρώματα 3.png
Όγκος στερεού χωρίς διπλά ολοκληρώματα 3.png (26.89 KiB) Προβλήθηκε 467 φορές
Η γεννήτρια καμπύλη \displaystyle{c} προφανώς έχει εξίσωση:

\displaystyle{y^2-ln(\frac{2}{1+z^2})=0,  \  \   (1)  }

Από την (1) προκύπτει εύκολα ότι:

\displaystyle{-1\leq z \leq 1, \  \   (2)}

(συνεχίζεται...)

Κώστας Δόρτσιος
τελευταία επεξεργασία από KDORTSI σε Τρί Μαρ 07, 2023 4:40 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 2346
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Όγκος χωρίς διπλά ολοκληρώματα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Τρί Μαρ 07, 2023 9:35 am

orestisgotsis έγραψε:
Πέμ Μαρ 02, 2023 4:42 pm
Βρείτε τον όγκο του στερεού από την ανισότητα {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+\ln (1+{{z}^{2}})\le \ln 2.

"Σημειώστε ότι δεν μπορείτε να χρησιμοποιήσετε ευθέως το διπλό ολοκλήρωμα εδώ το οποίο

οι μαθητές του Λυκείου στην Ιαπωνία δεν το μελετούν".
Καλημέρα...

(Συνέχεια...)

Μια ακόμα γνωριμία με την επιφάνεια αυτή.

Η επιφάνεια αυτή όπως προκύπτει από την εξίσωση της (1) είναι μια

"κυκλογενής επιφάνεια" δηλαδή μια επιφάνεια που προκύπτει από την κίνηση ενός κύκλου

το κέντρο του οποίου κινείται πάνω σε μια δοθείσα καμπύλη και η ακτίνα του

μεταβάλλεται με συγκεκριμένο τρόπο. Ας δούμε το ακόλουθο σχήμα:
Όγκος στερεού χωρίς διπλά ολοκληρώματα 4.png
Όγκος στερεού χωρίς διπλά ολοκληρώματα 4.png (64.66 KiB) Προβλήθηκε 362 φορές
Στο σχήμα αυτο βλέπουμε τον κύκλο:

\displaystyle{(Q, QM), \  \ (QM)=\sqrt{ln{\frac{2}{1+z^2}}}, \  \ 0 \leq z \leq 1 \ \ (3)}

Ο κύκλος αυτός καθώς κινείται διαγράφει (δημιουργεί) τη συγκεκριμένη επιφάνεια που μελετάμε.

Αυτό μπορεί κανείς να το δει και στο ακόλουθο οχήμα:
Όγκος στερεού χωρίς διπλά ολοκληρώματα 5.png
Όγκος στερεού χωρίς διπλά ολοκληρώματα 5.png (65.65 KiB) Προβλήθηκε 362 φορές
Τέτοιες κυκλογενείς επιφάνειες μπορεί να δει κανείς και σε άλλες περιπτώσεις με πιο

ενδιαφέρουσες μορφές. Για παράδειγμα:
Όγκος στερεού χωρίς διιπλά ολοκληρώματα 6.png
Όγκος στερεού χωρίς διιπλά ολοκληρώματα 6.png (71.43 KiB) Προβλήθηκε 362 φορές
Η οδηγός καμπύλη των κέντρων των κύκλων αυτών είναι παραβολή ενώ στο παράδειγμά μας είναι το

ευθύγραμμο τμήμα \displaystyle{OB}.

Τέτοιες επιφάνειες αποτελούν για τους καλλιτέχνες εφαλτήρια ιδεών και δημιουργικής φαντασίας!

(Συνεχίζεται...)

Κώστας Δόρτσιος


KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 2346
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Όγκος χωρίς διπλά ολοκληρώματα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Τετ Μαρ 08, 2023 10:07 pm

orestisgotsis έγραψε:
Πέμ Μαρ 02, 2023 4:42 pm
Βρείτε τον όγκο του στερεού από την ανισότητα {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+\ln (1+{{z}^{2}})\le \ln 2.

"Σημειώστε ότι δεν μπορείτε να χρησιμοποιήσετε ευθέως το διπλό ολοκλήρωμα εδώ το οποίο

οι μαθητές του Λυκείου στην Ιαπωνία δεν το μελετούν".
Καλησπέρα....

(Συνέχεια...)


Ύστερα από όλα για να υπολογίσουμε τον όγκο του στερεού αυτού θα

αναφερθούμε στο γνωστό σχήμα:
Όγκος στερεού χωρίς διπλά ολοκληρώματα 4.png
Όγκος στερεού χωρίς διπλά ολοκληρώματα 4.png (64.66 KiB) Προβλήθηκε 273 φορές
Είναι:

\displaystyle{ V=2\int_{0}^{1} \pi (QM)^2 dz=2\pi \int_{0}^{1}ln(\frac{2}{1+z^2})dz =}

\displaystyle{=2\pi[ \int_{0}^{1}ln2dz-\int_{0}^{1}ln(1+z^2)dz]= 2\pi ln2-2\pi \int_{0}^{1} ln(1+z^2)dz   \  \   (4) }

Όμως:

\displaystyle{\int_{0}^{1}ln(1+z^2)dz=\int_{0}^{1}(z)'ln(1+z^2)dz=zln(1+z^2)|_{0}^{1}-\int_{0}^{1}z\frac{2z}{1+z^2}dz =}

\displaystyle{=ln2-2\int_{0}^{1}(1-\frac{1}{1+z^2})dz =ln2 -2 \int_{0}^{1}dz  +2\int_{0}^{1}\frac{1}{1+z^2}dz= }

\displaystyle{= ln2-2+2tan^{-1}z|_{0}^{1}=ln2-2+\frac{\pi}{2} \  \ (5) }

Έτσι η (4) λόγω της (5) γίνεται τελικά:

\displaystyle{V=4\pi-\pi^2 \  \ (6) }

Ή προσεγγιστικά

\displaystyle{V \approx 2.6968 }

Παρόμοια θα μπορούσαμε να βρούμε και το εμβαδόν της επιφάνειας αυτής.

Κώστας Δόρτσιος


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης