Περίπου ε-χαρακτηρισμός του supremum!

Ορέστης Λιγνός · #1

Το παρακάτω πρόβλημα αποτέλεσε θέμα της χθεσινής εξέτασης του μαθήματος πρώτου εξαμήνου "Ανάλυση Ι & Εφαρμογές" του Φυσικού τμήματος του ΕΚΠΑ. Έχω βρει μια λύση αλλά πιστεύω υπάρχει κάτι απλούστερο που μου διαφεύγει.

Έστω $f: (0,1) \rightarrow \mathbb{R}$ μια συνεχής και άνω φραγμένη συνάρτηση, και έστω $M=\sup \{f(x) : x \in (0,1) \}$ . Να αποδείξετε ότι για κάθε $\epsilon >0$ υπάρχει ρητός $q \in (0,1)$ τέτοιος ώστε $M-\epsilon < f(q)$ .

#2

Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 28, 2023 1:53 pm
Το παρακάτω πρόβλημα αποτέλεσε θέμα της χθεσινής εξέτασης του μαθήματος πρώτου εξαμήνου "Ανάλυση Ι & Εφαρμογές" του Φυσικού τμήματος του ΕΚΠΑ. Έχω βρει μια λύση αλλά πιστεύω υπάρχει κάτι απλούστερο που μου διαφεύγει.

Έστω $f: (0,1) \rightarrow \mathbb{R}$ μια συνεχής και άνω φραγμένη συνάρτηση, και έστω $M=\sup \{f(x) : x \in (0,1) \}$ . Να αποδείξετε ότι για κάθε $\epsilon >0$ υπάρχει ρητός $q \in (0,1)$ τέτοιος ώστε $M-\epsilon < f(q)$ .

H ουσία είναι η πυκνότητα των ρητών.

Από τον ορισμό του supremum έπεται ότι υπάρχει $a\in (0,1)$ τέτοιο ώστε $M-\frac {1}{2} \epsilon < f(a) \le M$ . Από την συνέχεια της

στο

υπάρχει $\delta >0$ τέτοιο ώστε για $x \in (0,1)$ με $a- \delta < x < a +\delta \,(*)$ ισχύει $|f(x) - f(a) | < \frac {1}{2} \epsilon$ . Ειδικά, για ένα οποιοδήποτε τέτοιο

ισχύει

$f(x) > f(a) - \frac {1}{2} \epsilon > M - \frac {1}{2} \epsilon - \frac {1}{2} \epsilon = M- \epsilon$ .

Από πυκνότητα των ρητών, μπορούμε το

στην

να το επιλέξουμε ρητό, και τελειώσαμε.

Ορέστης Λιγνός · #3

Ευχαριστώ πολύ κ. Μιχάλη για τη λύση. Βάζω και τη δική μου.

Έστω $\epsilon>0$ . Υποθέτουμε πως $f(q) \leq M-\epsilon$ για κάθε ρητό $q \in (0,1)$ . Αφού $M=\sup \{ f(x) : x \in (0,1) \}$ , υπάρχει $r \in (0,1)$ τέτοιο ώστε $f(r)>M-\epsilon$ . Θεωρούμε ακολουθία (a_n)

ρητών αριθμών τέτοια ώστε $a_n \rightarrow r$ (τέτοια ακολουθία υπάρχει λόγω της πυκνότητας των ρητών). Τότε, από την Αρχή της Μεταφοράς,

$f(a_n) \rightarrow f(r)$ , και αφού $a_n \in \mathbb{Q}$ , προκύπτει ότι

$M-\epsilon \geq f(a_n) \rightarrow f(r)>M-\epsilon,$

άτοπο.

Οπότε, το ζητούμενο αποδείχθηκε.

#4

Λίγο αλλιώς: Αφού

το supremum, υπάρχει ακολουθία (a_n)

με $f(a_n) \to M$ .

Κρατάμε τώρα το

σταθερό. Από την πυκνότητα των ρητών και την συνέχεια της

στο

, υπάρχει ρητός, ας τον πούμε q_n

, με $|f(a_n)-f(q_n)|<\frac {1}{n}.$ .To κάνουμε αυτό για όλα τα

. Είναι τότε

$0\le |f(q_n) - M| \le |f(q_n) - f(a_n) | + |f(a_n) -M| \le \frac {1}{n} + |f(a_n) -M| \to 0$ .

Δηλαδή $f(q_n) \to M$ . Οπότε αργά ή γρήγορα ισχύει η ζητούμενη $f(q_n) > M - \epsilon$ .

Σxολιάζω ότι το γεγονός ότι το

είναι supremum παίζει δευτερεύοντα ρόλο. Αυτό που χρειάζεται είναι ότι υπάρχει ακολουθία (a_n)

με $f(a_n) \to M$ . Έπεται ότι θα υπάρχει τότε ακολουθία ρητών (q_n)

με $f(q_n) \to M$ .

#5

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 30, 2023 11:30 pm
Λίγο αλλιώς: Αφού το supremum, υπάρχει ακολουθία με $f(a_n) \to M$ .

Κρατάμε τώρα το σταθερό. Από την πυκνότητα των ρητών και την συνέχεια της στο , υπάρχει ρητός, ας τον πούμε , με $|f(a_n)-f(q_n)|<\frac {1}{n}.$ .To κάνουμε αυτό για όλα τα . Είναι τότε

$0\le |f(q_n) - M| \le |f(q_n) - f(a_n) | + |f(a_n) -M| \le \frac {1}{n} + |f(a_n) -M| \to 0$ .

Δηλαδή $f(q_n) \to M$ . Οπότε αργά ή γρήγορα ισχύει η ζητούμενη $f(q_n) > M - \epsilon$ .

Σxολιάζω ότι το γεγονός ότι το είναι supremum παίζει δευτερεύοντα ρόλο. Αυτό που χρειάζεται είναι ότι υπάρχει ακολουθία με $f(a_n) \to M$ . Έπεται ότι θα υπάρχει τότε ακολουθία ρητών με $f(q_n) \to M$ .

Περίπου ε-χαρακτηρισμός του supremum!

Περίπου ε-χαρακτηρισμός του supremum!

Re: Περίπου ε-χαρακτηρισμός του supremum!

Re: Περίπου ε-χαρακτηρισμός του supremum!

Re: Περίπου ε-χαρακτηρισμός του supremum!

Re: Περίπου ε-χαρακτηρισμός του supremum!

Μέλη σε σύνδεση