Περίπου ε-χαρακτηρισμός του supremum!
Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Περίπου ε-χαρακτηρισμός του supremum!
Το παρακάτω πρόβλημα αποτέλεσε θέμα της χθεσινής εξέτασης του μαθήματος πρώτου εξαμήνου "Ανάλυση Ι & Εφαρμογές" του Φυσικού τμήματος του ΕΚΠΑ. Έχω βρει μια λύση αλλά πιστεύω υπάρχει κάτι απλούστερο που μου διαφεύγει.
Έστω μια συνεχής και άνω φραγμένη συνάρτηση, και έστω . Να αποδείξετε ότι για κάθε υπάρχει ρητός τέτοιος ώστε .
Έστω μια συνεχής και άνω φραγμένη συνάρτηση, και έστω . Να αποδείξετε ότι για κάθε υπάρχει ρητός τέτοιος ώστε .
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Περίπου ε-χαρακτηρισμός του supremum!
H ουσία είναι η πυκνότητα των ρητών.Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑Σάβ Ιαν 28, 2023 1:53 pmΤο παρακάτω πρόβλημα αποτέλεσε θέμα της χθεσινής εξέτασης του μαθήματος πρώτου εξαμήνου "Ανάλυση Ι & Εφαρμογές" του Φυσικού τμήματος του ΕΚΠΑ. Έχω βρει μια λύση αλλά πιστεύω υπάρχει κάτι απλούστερο που μου διαφεύγει.
Έστω μια συνεχής και άνω φραγμένη συνάρτηση, και έστω . Να αποδείξετε ότι για κάθε υπάρχει ρητός τέτοιος ώστε .
Από τον ορισμό του supremum έπεται ότι υπάρχει τέτοιο ώστε . Από την συνέχεια της στο υπάρχει τέτοιο ώστε για με ισχύει . Ειδικά, για ένα οποιοδήποτε τέτοιο ισχύει
.
Από πυκνότητα των ρητών, μπορούμε το στην να το επιλέξουμε ρητό, και τελειώσαμε.
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Περίπου ε-χαρακτηρισμός του supremum!
Ευχαριστώ πολύ κ. Μιχάλη για τη λύση. Βάζω και τη δική μου.
Έστω . Υποθέτουμε πως για κάθε ρητό . Αφού , υπάρχει τέτοιο ώστε . Θεωρούμε ακολουθία ρητών αριθμών τέτοια ώστε (τέτοια ακολουθία υπάρχει λόγω της πυκνότητας των ρητών). Τότε, από την Αρχή της Μεταφοράς,
, και αφού , προκύπτει ότι
άτοπο.
Οπότε, το ζητούμενο αποδείχθηκε.
Έστω . Υποθέτουμε πως για κάθε ρητό . Αφού , υπάρχει τέτοιο ώστε . Θεωρούμε ακολουθία ρητών αριθμών τέτοια ώστε (τέτοια ακολουθία υπάρχει λόγω της πυκνότητας των ρητών). Τότε, από την Αρχή της Μεταφοράς,
, και αφού , προκύπτει ότι
άτοπο.
Οπότε, το ζητούμενο αποδείχθηκε.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Περίπου ε-χαρακτηρισμός του supremum!
Λίγο αλλιώς: Αφού το supremum, υπάρχει ακολουθία με .
Κρατάμε τώρα το σταθερό. Από την πυκνότητα των ρητών και την συνέχεια της στο , υπάρχει ρητός, ας τον πούμε , με .To κάνουμε αυτό για όλα τα . Είναι τότε
.
Δηλαδή . Οπότε αργά ή γρήγορα ισχύει η ζητούμενη .
Σxολιάζω ότι το γεγονός ότι το είναι supremum παίζει δευτερεύοντα ρόλο. Αυτό που χρειάζεται είναι ότι υπάρχει ακολουθία με . Έπεται ότι θα υπάρχει τότε ακολουθία ρητών με .
Κρατάμε τώρα το σταθερό. Από την πυκνότητα των ρητών και την συνέχεια της στο , υπάρχει ρητός, ας τον πούμε , με .To κάνουμε αυτό για όλα τα . Είναι τότε
.
Δηλαδή . Οπότε αργά ή γρήγορα ισχύει η ζητούμενη .
Σxολιάζω ότι το γεγονός ότι το είναι supremum παίζει δευτερεύοντα ρόλο. Αυτό που χρειάζεται είναι ότι υπάρχει ακολουθία με . Έπεται ότι θα υπάρχει τότε ακολουθία ρητών με .
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Περίπου ε-χαρακτηρισμός του supremum!
Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Δευ Ιαν 30, 2023 11:30 pmΛίγο αλλιώς: Αφού το supremum, υπάρχει ακολουθία με .
Κρατάμε τώρα το σταθερό. Από την πυκνότητα των ρητών και την συνέχεια της στο , υπάρχει ρητός, ας τον πούμε , με .To κάνουμε αυτό για όλα τα . Είναι τότε
.
Δηλαδή . Οπότε αργά ή γρήγορα ισχύει η ζητούμενη .
Σxολιάζω ότι το γεγονός ότι το είναι supremum παίζει δευτερεύοντα ρόλο. Αυτό που χρειάζεται είναι ότι υπάρχει ακολουθία με . Έπεται ότι θα υπάρχει τότε ακολουθία ρητών με .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες