Πληθικότητα

Tolaso J Kos · #1

Έστω

πραγματική συνάρτηση η οποία έχει την ιδιότητα των ενδιαμέσων τιμών. Υποθέτουμε ότι υπάρχει σημείο

στο οποίο η

δεν είναι συνεχής. Να δειχθεί ότι υπάρχει διάστημα $(\alpha, \beta)$ τέτοιο ώστε για κάθε $y \in (\alpha, \beta)$ το $f^{-1}(y)$ να έχει άπειρη πληθικότητα.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 28, 2023 12:04 am
Έστω πραγματική συνάρτηση η οποία έχει την ιδιότητα των ενδιαμέσων τιμών. Υποθέτουμε ότι υπάρχει σημείο στο οποίο η δεν είναι συνεχής. Να δειχθεί ότι υπάρχει διάστημα $(\alpha, \beta)$ τέτοιο ώστε για κάθε $y \in (\alpha, \beta)$ το $f^{-1}(y)$ να έχει άπειρη πληθικότητα.

Σαφώς δεν ισχύει.
π.χ η
$f(x)=|x| x\neq 0,f(0)=1$
Το σωστό είναι
Έστω

πραγματική συνάρτηση η οποία έχει την ιδιότητα των ενδιαμέσων τιμών. Υποθέτουμε ότι υπάρχει σημείο

στο οποίο οποία τιμη για να βάλουμε στο f(p)

δεν είναι συνεχής. Να δειχθεί ότι υπάρχει διάστημα $(\alpha, \beta)$ τέτοιο ώστε για κάθε $y \in (\alpha, \beta)$ το $f^{-1}(y)$ να έχει άπειρη πληθικότητα.

#3

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 28, 2023 7:03 pm

Σαφώς δεν ισχύει.
π.χ η
$f(x)=|x| x\neq 0,f(0)=1$
Το σωστό είναι
Έστω πραγματική συνάρτηση η οποία έχει την ιδιότητα των ενδιαμέσων τιμών. Υποθέτουμε ότι υπάρχει σημείο στο οποίο οποία τιμη για να βάλουμε στο δεν είναι συνεχής. Να δειχθεί ότι υπάρχει διάστημα $(\alpha, \beta)$ τέτοιο ώστε για κάθε $y \in (\alpha, \beta)$ το $f^{-1}(y)$ να έχει άπειρη πληθικότητα.

Σταύρο, με προβλημάτισε και εμένα. Πιστεύω ότι αυτό που θέλει να πει ο συγραφέας της άσκησης (από όπου άντλησε ο Τόλης) είναι στο τι ακριβώς εννοούμε "ιδιότητα ενδιάμεσων τιμών".

Το λογικό και απλούστερο είναι η ιδιότητα: Αν f(a)<f(b)

και

μεταξύ τους, f(a)<t<f(b)

, τότε υπάρχει $\xi$ με $f(\xi) = t$ .

Αυτό που μαντεύω ότι εννοείται εδώ είναι: Αν f(a)<f(b)

και

μεταξύ τους, f(a)<t<f(b)

, τότε υπάρχει $\xi$ μεταξύ των

και

με $f(\xi) = t$ .

Στο παράδειγμα σου, όπως και σε αντίστοιχο που έφτιαξα πριν υποψιαστώ ότι κάτι άλλο θέλει να πει ο αρχικός κατασκευαστής, δεν ισχύει η δεύτερη εκδοχή για την $f\left ( \frac {1}{2}\rtight) < \frac {3}{4} < f(0)$ .

Δεν ξέρω αν η δεύτερη εκδοχή διορθώνει την κατάσταση (δεν προσπάθησα να λύσω την άσκηση) αλλά κάποιες μικρές σκέψεις που έκανα με οδηγούν σε αυτό το συμπέρασμα.

Ας μας πει ο Τόλης ποια είναι η πηγή του και τι λέει εκεί ως "ιδιότητα ενδιάμεσων τιμών".

Tolaso J Kos · #4

Μιχάλη σου ανεβάζω την άσκηση όπως εμφανίζεται στο πρωτότυπο. Έχει λύση από κάτω.

: Screenshot 2023-01-28 at 21-37-32 AMJ2022-vol9iss2.pdf.png (43.4 KiB) Προβλήθηκε 324 φορές

#5

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 28, 2023 9:38 pm
Μιχάλη σου ανεβάζω την άσκηση όπως εμφανίζεται στο πρωτότυπο. Έχει λύση από κάτω.

Screenshot 2023-01-28 at 21-37-32 AMJ2022-vol9iss2.pdf.png

Τόλη, ίσως δεν έγινα κατανοητός.

Αυτό που ρωτάω είναι

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 28, 2023 8:34 pm
Ας μας πει ο Τόλης ποια είναι η πηγή του και τι λέει εκεί ως "ιδιότητα ενδιάμεσων τιμών".

Με απλά λόγια: Αφού η πηγή σου έχει την λύση, ρίξε μια ματιά να μας πεις αν η ιδιότητα ενδιαμέσων τιμών που χρησιμοποιεί είναι αυτή που μάντεψα στο προηγούμενό μου ποστ. Αν όχι, αν δηλαδή έχει την πρώτη εκδοχή του ορισμού, όπως την κατάγραψα στο προηγούμενό μου ποστ, τότε η άσκηση είναι λάθος. Το δείχνει το αντιπαράδειγμα του Σταύρου. Έχω και εγώ παρόμοιο.

Tolaso J Kos · #6

Μιχάλη ανεβάζω και τη λύση ....

: C67C4BA8-5FB4-484A-99D6-105A557823FD.jpeg (79.54 KiB) Προβλήθηκε 291 φορές

Μιχάλη μάλλον αυτό που μάντεψες ειναι σωστό !

#7

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 29, 2023 12:27 am
Μιχάλη μάλλον αυτό που μάντεψες ειναι σωστό !

Tόλη, μας το χάλασες.

Σου ζητήσαμε να πεις ένα ναι ή όχι για τον ορισμό που χρησιμοποιεί, και όχι να βάλεις λύση.

Η λύση που έχω κατά νου είναι στο ίδιο μήκος κύματος με του συγγραφέα και μάλιστα λίγο ευκολότερη.

Ας προσθέσω, για να μην επικρέμαται το "μάλλον" που γράφεις, πράγματι ο ορισμός που χρησιμοποιεί είναι αυτός που μάντεψα. Το βλέπει κανείς στην πέμπτη και έκτη γραμμή από το τέλος, στην λύση του αρχικού θεματοθέτη.

Tolaso J Kos · #8

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 29, 2023 12:47 am

Tόλη, μας το χάλασες.

Δε πειράζει. Υπάρχουν και άλλες ασκήσεις να λυθούν.

Πληθικότητα

Πληθικότητα

Re: Πληθικότητα

Re: Πληθικότητα

Re: Πληθικότητα

Re: Πληθικότητα

Re: Πληθικότητα

Re: Πληθικότητα

Re: Πληθικότητα

Μέλη σε σύνδεση