Τριγάμμα στους μισούς ακεραίους

Tolaso J Kos · #1

Έστω $n \in \mathbb{N}$ . Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\psi^{(1)} \left ( n + \frac{1}{2} \right ) = \frac{\pi^2}{2} - 4 \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\left ( 2k-1 \right )^2}}$

όπου $\psi^{(1)}$ η τριγάμμα.

Tolaso J Kos · #2

Επαναφορά.

#3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 20, 2023 6:03 pm
Έστω $n \in \mathbb{N}$ . Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\psi^{(1)} \left ( n + \frac{1}{2} \right ) = \frac{\pi^2}{2} - 4 \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\left ( 2k-1 \right )^2}}$

όπου $\psi^{(1)}$ η τριγάμμα.

Είναι άμεσο από έτοιμους και γνωστούς τύπους. Πρώτα απ' όλα από τον $\displaystyle{\psi^{(1)} (z) = \sum _{k=0} ^{\infty} \dfrac {1}{(z+k)^ 2} }$ (υπάρχει σε πολλά σημεία) και από

$\displaystyle{ \frac{\pi^2}{2} - 4 \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\left ( 2k-1 \right )^2} = 4 \left (\frac{\pi^2}{8} - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\left ( 2k-1 \right )^2} \right ) = 4 \left (\sum_{k=1}^{\infty } \frac{1}{\left ( 2k-1 \right )^2} - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\left ( 2k-1 \right )^2} \right ) = }$

$\displaystyle{ = \sum_{k=n+1}^{\infty } \frac{4}{\left ( 2k-1 \right )^2} = \sum_{m=0}^{\infty } \frac{4}{\left ( 2n+2m+1 \right )^2} = \sum_{m=0}^{\infty } \frac{1}{\left ( n+m+1/2 \right )^2}= \psi^{(1)} \left ( n + \frac{1}{2} \right ) }$

Τριγάμμα στους μισούς ακεραίους

Τριγάμμα στους μισούς ακεραίους

Re: Τριγάμμα στους μισούς ακεραίους

Re: Τριγάμμα στους μισούς ακεραίους

Μέλη σε σύνδεση