Γινόμενο #5

Tolaso J Kos · #1

Με αφορμή την εκθετική σειρά εδώ θέτω τούτο.

Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\int_{0}^{1}\prod_{k=1}^{\infty}(1-x^k)\; \mathrm{d} x=\frac{4\pi\sqrt{3}}{\sqrt{23}}\frac{\sinh \frac{\pi\sqrt{23}}{3}}{\cosh \frac{\pi\sqrt{23}}{2}}}$

Tolaso J Kos · #2

Από το Pentagonal Number Theorem ισχύει ότι:

$\displaystyle{\prod_{n=1}^{\infty} \left ( 1 - x^n \right ) = \sum_{m=-\infty}^{\infty} (-1)^m x^{(3m^2-m)/2}}$
Τότε,

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{0}^{1}\prod_{n=1}^{\infty} \left ( 1-x^n \right ) \, \mathrm{d}x &= \int_{0}^{1}\sum_{m=-\infty}^{\infty} (-1)^m x^{(3m^2-m)/2} \, \mathrm{d}x\\ &=\sum_{m=-\infty}^{\infty} (-1)^m \int_{0}^{1} x^{(3m^2-m)/2} \, \mathrm{d}x\\ &= 2 \sum_{m=-\infty}^{\infty} \frac{(-1)^m}{3m^2-m+2} \\ &= \frac{4 \pi \sqrt{3} \sinh \frac{\pi \sqrt{23}}{3}}{\sqrt{23} \cosh \frac{\pi \sqrt{23}}{2}} \end{aligned}}$
Η σειρά $\displaystyle{\sum_{m=-\infty}^{\infty} \frac{(-1)^m}{3m^2-m+2}}$ υπολογίζεται ενεργοποιώντας το πυρήνα $\pi \csc \pi z$ και θεωρώντας τη συνάρτηση $\displaystyle{f(z) =\frac{\pi \csc \pi z}{3z^2-z+2}}$ . Αφήνεται στον αναγνώστη.

Η παραπάνω ανάρτηση σηματοδοτεί τη η ανάρτησή μου στο . Και εις τις άλλες με υγεία!

Γινόμενο #5

Γινόμενο #5

Re: Γινόμενο #5

Μέλη σε σύνδεση