Πραγματική Ανάλυση μονοσύνολα

[πάσχος]

Καλησπέρα,
Εχω περάσει πραγματικη ανάλυση πριν 14 χρόνια στο μαθηματικο αθήνας, και φετος που είχα αυπνιες την ξαναεπισκέφτηκα. Κοιτώντας το συγγραμμα του Γιαννόπουλου (ουσιαστικα αυτο που διαβαζα οταν ημουν φοιτητης), στο κεφάλαιο με τα κλειστα/ανοιχτα σύνολα, διαβάζω πως σε κάθε μετρικό χώρο τα μονοσύνολα {χ} ειναι κλειστά σύνολα. Το οποιο εντάξει αντιλαμβάνομαι πως αποδεικνύεται με τον ορισμο, τετριμένα και ακολουθιακά. Το πρόβλημα ειναι πως στο μυαλό μου αναδύονται και αποδείξεις πως ειναι ανοιχτα σε συγκεκριμένους μετρικους χώρους. Αρχίζει και γίνεται αφόρητο όταν πλέον στις ασκήσεις του ιδιου συγγκράματος όντως θεωρεί πως μονοσύνολα είναι ανοιχτά. Π.χ. αν χ ενα μεμονωμένο στοιχείο ενος μετρικου χωρου τότε η μπαλα με κεντρο το χ και ακτινα ε ειναι ενα μονοσύνολο και άρα ανοιχτο αφου ειναι μπάλα. Το ίδιο που "άναβε" στο μυαλό μου. Το ίδιο και σε ενα διακριτο μετρικο χώρο μια μπάλα μπορει να ειναι μονοσύνολο. Οποτε τι ακριβως ειναι τα μονοσύνολα? κλειστα, ανοιχτα, και τα δύο, αλλες φορες μονο το ενα ή μονο το αλλό ή και τα δυο;

[Tolaso J Kos]

Με τη προϋπόθεση ότι δεν κάνει λάθος στα παρακάτω.

Το είναι κλειστό στον με τη συνήθη τοπολογία γιατί το συμπλήρωμα του είναι ανοιχτό. Δοθέντος έστω . Τότε οπότε , συνεπώς το σύνολο είναι ανοιχτό και άρα το είναι κλειστό.


Η μόνη περίπτωση να είναι ταυτόχρονα και ανοιχτό και κλειστό είναι στο διακριτό χώρο.

Υ.Σ: Τα μονοσύνολα είναι κλειστά και στον υπό τη συνήθη τοπολογία. Αν δεν ήταν τότε θα χάναμε τη συνεκτικότητα αυτού.

Οπότε για να απαντήσω σε αυτό που ρωτάς: Εξαρτάται από το τοπολογικό χώρο.

[Mihalis_Lambrou]

Καλησπέρα,
Εχω περάσει πραγματικη ανάλυση πριν 14 χρόνια στο μαθηματικο αθήνας, και φετος που είχα αυπνιες την ξαναεπισκέφτηκα. Κοιτώντας το συγγραμμα του Γιαννόπουλου (ουσιαστικα αυτο που διαβαζα οταν ημουν φοιτητης), στο κεφάλαιο με τα κλειστα/ανοιχτα σύνολα, διαβάζω πως σε κάθε μετρικό χώρο τα μονοσύνολα {χ} ειναι κλειστά σύνολα. Το οποιο εντάξει αντιλαμβάνομαι πως αποδεικνύεται με τον ορισμο, τετριμένα και ακολουθιακά. Το πρόβλημα ειναι πως στο μυαλό μου αναδύονται και αποδείξεις πως ειναι ανοιχτα σε συγκεκριμένους μετρικους χώρους. Αρχίζει και γίνεται αφόρητο όταν πλέον στις ασκήσεις του ιδιου συγγκράματος όντως θεωρεί πως μονοσύνολα είναι ανοιχτά. Π.χ. αν χ ενα μεμονωμένο στοιχείο ενος μετρικου χωρου τότε η μπαλα με κεντρο το χ και ακτινα ε ειναι ενα μονοσύνολο και άρα ανοιχτο αφου ειναι μπάλα. Το ίδιο που "άναβε" στο μυαλό μου. Το ίδιο και σε ενα διακριτο μετρικο χώρο μια μπάλα μπορει να ειναι μονοσύνολο. Οποτε τι ακριβως ειναι τα μονοσύνολα? κλειστα, ανοιχτα, και τα δύο, αλλες φορες μονο το ενα ή μονο το αλλό ή και τα δυο;

]
Kαλώς ήλθες στο φόρουμ.

Ας ξεκινήσω από το γεγονός, δεδομένου ότι έχεις ηλικία 30 και βάλε, πρέπει πρώτα απ' όλα να γράφεις σωστά Ελληνικά. Για παράδειγμα οι λέξεις τονίζονται, στα κύρια ονόματα αρχίζουμε με κεφαλαίο (σημείωσα μερικά), και λοιπά, Η σωστή γραφή, πέρα από το γεγονός ότι το ζητούν οι κανονισμοί μας, είναι ένα δείγμα της οργανωμένης σκέψης. Θα σου είναι χρήσιμο εργαλείο, για τα Μαθηματικά.

Στο θέμα μας. Ουσιαστικά έχεις απαντήσει ο ίδιος. Αν ένα σημείο είναι μεμονωμένο, ναι είναι ανοικτό. ΤΕΤΡΙΜΜΕΝΟ, από τον ορισμό. Στο επίπεδο με την συνήθη μετρική, είναι κλειστό.

Φαίνεται να νομίζεις ότι όλοι οι Μετρικοί Χώροι είναι σαν το επίπεδο, τόσο ως προς την κατανομή των σημείων τους, όσο και για τις μεταξύ των σημείων αποστάσεις. Πρέπει να φύγεις από αυτή την οπτική-προκατάληψη. Εδώ τα σύνολα και οι μετρικές έχουν μεγάλη ποικιλία, και ό,τι είναι ανοικτό σύνολο στον ένα Μετρικό Χώρο, μπορεί να μην είναι στον άλλο.

Ίσως η ακόλουθη άσκηση σε βοηθήσει να κατανοήσεις τα ζητούμενα. Σου την θέτω γιατί τα ερωτήματα σου είναι αρκετά απλά (και απαντημένα στα βιβλία σου αλλά και στο κείμενο που έγραψες) που δεν μπορώ να τα εξηγήσω περισσότερο.

Άσκηση. Βρες έναν Μετρικό Χώρο με (ακριβώς) δέκα σημεία του οποίου όλα τα υποσύνολα (και τα 1024) να είναι και ανοικτά και κλειστά σύνολα. Μάλιστα, δείξε ότι αρκεί να αποδείξεις ότι είναι όλα ανοικτά, και το ότι είναι κλειστά έρχεται μόνο του.

Περιμένουμε εδώ την απάντησή σου.

[πάσχος]

Το προβλημα μου ήταν πως στην θεωρία λέει καθαρά πως σε κάθε μετρικο χώρο τα μονοσύνολα ειναι κλειστά. Οπότε ειναι ασφαλές το συμπέρασμα πως ολα τα μονοσύνολα ειναι κλειστά αλλά σε μερικους μετρικούς χώρους μπορεί να είναι και ανοιχτά;
Α={n:n=1,2,...,10} ειναι ενα τέτοιος χώρος με την συνηθη μετρική.

[Mihalis_Lambrou]

Το προβλημα μου ήταν πως στην θεωρία λέει καθαρά πως σε κάθε μετρικο χώρο τα μονοσύνολα ειναι κλειστά. Οπότε ειναι ασφαλές το συμπέρασμα πως ολα τα μονοσύνολα ειναι κλειστά αλλά σε μερικους μετρικούς χώρους μπορεί να είναι και ανοιχτά;
Α={n:n=1,2,...,10} ειναι ενα τέτοιος χώρος με την συνηθη μετρική.

Ναι, τα μονοσύνολα στους Μετρικούς Χώρους είναι πάντα κλειστά, όμως υπάρχουν Μετρικοί Χώροι που κάποια (ή όλα) τα μονοσύνολα είναι ανοικτά.

[πάσχος]

Τέλεια , σε ευχαριστώ. Μπορώ να αναρτώ μερικές ασκήσεις που έχω λύσει και δεν είναι ίδιες με τις υποδείξεις του συγγράμματος , για να έχω πιθανό feedback/συζήτηση από ανθρώπους που γνωρίζουν τι κάνουν στην πραγμ. ανάλυση ή δεν επιτρέπεται;

[Mihalis_Lambrou]

Τέλεια , σε ευχαριστώ. Μπορώ να αναρτώ μερικές ασκήσεις που έχω λύσει και δεν είναι ίδιες με τις υποδείξεις του συγγράμματος , για να έχω πιθανό feedback/συζήτηση από ανθρώπους που γνωρίζουν τι κάνουν στην πραγμ. ανάλυση ή δεν επιτρέπεται;

Το φόρουμ είναι ανοικτό σε όλους, και είσαι ευπρόσδεκτος.

(Το μόνο που δεν ανέχεται το φόρουμ είναι όταν μερικοί αναρτούν εδώ τις εκφωνήσεις ασκήσεων που είναι παραδοτέες -και συχνά βαθμολογούμενες- σε κάποιο μάθημα που παρακολουθούν. Είναι οι εξυπνάκηδες που πάνε να γελάσουν τους Δασκάλους τους παρουσιάζοντας ως δικές τους λύσεις για θέματα που είναι ανίδεοι).

[πάσχος]

Μην ανησυχείτε ειμαι 38 χωρίς σχέδια να γυρίσω στα θρανία , εξ άλλου την πέρασα μικρος που το μυαλό ήταν πιο ανεκτικο σε ιδέες, τώρα σκαλωνω στα απλά.

[Mihalis_Lambrou]

Τόλη (και Πάσχο) προσοχή, δεν είναι σωστά όλα τα γραφόμενα στο ποστ σου. Για παράδειγμα.

οπότε , συνεπώς το σύνολο

Φαίνεται να νομίζεις ότι ο μόνος Μετρικός Χώρος είναι το . Χμμ.

Η μόνη περίπτωση να είναι ταυτόχρονα και ανοιχτό και κλειστό είναι στο διακριτό χώρο.

Δεν αληθεύει το παραπάνω.

Υ.Σ: Τα μονοσύνολα είναι κλειστά και στον υπό τη συνήθη τοπολογία. Αν δεν ήταν τότε θα χάναμε τη συνεκτικότητα αυτού.

Άκρως αποπροσανατολιστικό σχόλιο. Η συνεκτικότητα εξαρτάται από την μετρική. Αν αλλάξουμε την μετρική, δεν υπάρχει κανένας λόγος να περιμένουμε να διατηρούνται οι ιδιότητες της παλιάς μετρικής. Εδώ μπορεί να αλλάξει η σύγκλιση (και στην διακριτή η σύγκλιση αλλάζει δραματικά), οπότε δεν έχει νόημα το παραπάνω σχόλιο.

[Tolaso J Kos]

Μιχάλη,

στα παραπάνω μιλάω για το , με τη συνήθη μετρική όπως και για το μετρικό χώρο με τη συνήθη του μετρική. Δε μιλάω για τυχόντες μετρικούς χώρους.

Αν κάνω λάθος , οκ , γιατί έχω να τα πιάσω τουλάχιστον 8 χρόνια.