Γινόμενο Fibonacci

Tolaso J Kos · #1

Έστω $\mathcal{F}_n$ ο

- οστός όρος της ακολουθίας Fibonacci. Να δειχθεί ότι

$\displaystyle{\prod_{n=1}^{\infty} \left ( 1 + \frac{(-1)^n}{\mathcal{F}_n^2} \right ) = \varphi}$
όπου $\varphi$ ο χρυσός λόγος.

Tolaso J Kos · #2

Ενεργοποιώντας τη ταυτότητα Cassini έχουμε διαδοχικά:

$\displaystyle{\begin{aligned} \prod_{n=1}^{\infty} \left ( 1 + \frac{(-1)^n}{\mathcal{F}_n^2} \right ) &=\lim_{N \rightarrow +\infty} \prod_{n=1}^{N} \left ( 1 + \frac{(-1)^n}{\mathcal{F}_n^2} \right ) \\ &=\lim_{N \rightarrow +\infty} \prod_{n=1}^{N} \left ( \frac{\mathcal{F}_n^2 + (-1)^n}{\mathcal{F}_n^2} \right ) \\ &= \lim_{N \rightarrow +\infty} \prod_{n=1}^{N} \frac{\mathcal{F}_{n-1}}{\mathcal{F}_n} \cdot \frac{\mathcal{F}_{n+1}}{\mathcal{F}_n}\\ &= \lim_{N \rightarrow +\infty} \frac{\mathcal{F}_0 \mathcal{F}_{N+1}}{\mathcal{F}_1 \mathcal{F}_{N}} \\ & =\lim_{N \rightarrow +\infty} \frac{\mathcal{F}_{N+1}}{\mathcal{F}_{N}} \\ &= \varphi \\ &= \frac{1+\sqrt{5}}{2} \end{aligned}}$

Γινόμενο Fibonacci

Γινόμενο Fibonacci

Re: Γινόμενο Fibonacci

Μέλη σε σύνδεση