Ένα όριο

Tolaso J Kos · #1

Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = \sum_{n=2}^{\infty} x^n \ln n \; , \; x \in (-1, 1)}$ . Να δειχθεί ότι $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow -1^+} f(x) = \frac{1}{2} \ln \frac{\pi}{2}}$ .

Λάμπρος Κατσάπας · #2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 30, 2022 12:47 pm
Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = \sum_{n=2}^{\infty} x^n \ln n \; , \; x \in (-1, 1)}$ . Να δειχθεί ότι $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow -1^+} f(x) = \frac{1}{2} \ln \frac{\pi}{2}}$ .

Είναι

$\displaystyle{f(x) = \sum_{n=2}^{\infty} x^n \ln n = \dfrac{1}{x} \sum_{n=2}^{\infty} x^{n+1} \ln n =\dfrac{1}{x} \sum_{n=3}^{\infty} x^{n} \ln (n-1)}$

απ' όπου παίρνουμε

$\displaystyle{xf(x)= \sum_{n=3}^{\infty} x^{n} \ln (n-1)=\sum_{n=2}^{\infty} x^{n} \ln (n-1).}$

Αφαιρώντας κατά μέλη έχουμε

$\displaystyle{(1-x)f(x)= \sum_{n=2}^{\infty} x^{n} \ln \left ( \dfrac{n}{n-1} \right ) .}$

Η τελευταία σειρά εύκολα ελέγχουμε ότι έχει ακτίνα σύγκλισης

και συγκλίνει και στο

(εναλλάσσουσα).

Παίρνοντας όριο στην τελευταία βρίσκουμε

$\displaystyle{2\lim_{x\rightarrow -1^{+}}f(x)=\sum_{n=2}^{\infty} (-1)^{n} \ln \left ( \dfrac{n}{n-1} \right )=\ln \left ( \prod_{n=2}^{\infty } \left (\dfrac{n}{n-1} \right )^{(-1)^n} \right )}$

$\displaystyle{=\ln(Wallis-product)=\ln \left (\dfrac{\pi }{2} \right )}$

που αποδεικνύει το ζητούμενο.

Ένα όριο

Ένα όριο

Re: Ένα όριο

Μέλη σε σύνδεση