Πολλαπλό ολοκλήρωμα

Tolaso J Kos · #1

Έστω

πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε 0<a<b

. Δηλώνουμε με $\mathbb{D}$ το χωρίο του πρώτου τεταρτημορίου του

επιπέδου το οποίο εσωκλείεται από τις καμπύλες xy=a

,

και

. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\iint \limits_{\mathbb{D}} \left( y^2 - x^2 \right)^{xy} \left( x^2 + y^2 \right) \, \mathrm{d}(x, y) = \frac{1}{2} \log \frac{b+1}{a+1}}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 22, 2022 7:50 am
Έστω πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε . Δηλώνουμε με $\mathbb{D}$ το χωρίο του πρώτου τεταρτημορίου του επιπέδου το οποίο εσωκλείεται από τις καμπύλες , , και . Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\iint \limits_{\mathbb{D}} \left( y^2 - x^2 \right)^{xy} \left( x^2 + y^2 \right) \, \mathrm{d}(x, y) = \frac{1}{2} \log \frac{b+1}{a+1}}$

Θα γράψω μια λύση σύντομα .
Θέτοντας
$\displaystyle u=xy,v=y^2-x^2$
είναι
$\displaystyle a< u< b,0< v< 1,(x^2+y^2)dxdy=\frac{1}{2}dudv$
Ετσι το ολοκλήρωμα είναι

$\displaystyle \frac{1}{2}\int_{a}^{b}\int_{0}^{1}v^{u}dvdu=\frac{1}{2}\int_{a}^{b}\frac{1}{u+1}du=\frac{1}{2}\log \frac{b+1}{a+1}$

Πολλαπλό ολοκλήρωμα

Πολλαπλό ολοκλήρωμα

Re: Πολλαπλό ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση