Σειρά Fibonacci

Tolaso J Kos · #1

Έστω $\mathcal{F}_n$ οι αριθμοί Fibonacci. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\sum_{n=2}^{\infty}\arctan \left(\frac{\mathcal{F}_{n-1}}{\mathcal{F}_n \mathcal{F}_{n+1}+1}\right)\arctan \left(\frac{\mathcal{F}_{n+2}}{\mathcal{F}_n \mathcal{F}_{n+1}-1}\right)=\frac{\pi^2}{16}}$

#2

Γράφουμε $x_n = \arctan{F_n}$ . Παρατηρούμε ότι

$\displaystyle \frac{F_{n-1}}{F_nF_{n+1}+1} = \frac{F_{n+1}-F_n}{F_nF_{n+1}+1} = \frac{\tan{x_{n+1}} - \tan{x_n}}{1 + \tan{x_{n+1}}\tan{x_n}} = \tan(x_{n+1}-x_n)$

και

$\displaystyle \displaystyle{\frac{F_{n+2}}{F_nF_{n+1}-1} = \frac{F_{n+1}+F_n}{F_nF_{n+1}-1} = -\frac{\tan{x_{n+1}} + \tan{x_n}}{1 - \tan{x_{n+1}}\tan{x_n}} = -\tan(x_{n+1}+x_n) = \tan(\pi - (x_{n+1}+x_n))}$

Επειδή $1 = F_1 = F_2 < F_3 < \cdots$ , τότε $\displaystyle \frac{\pi}{4} = x_1 = x_2 < x_3 < \cdots$ Επίσης έχουμε $x_n < \pi/2$ για κάθε

. Συνεπώς $x_{n+1}-x_n \in [0,\pi/2)$ και $\pi - (x_{n+1}+x_n) \in (0,\pi/2)$ . Άρα έχουμε

$\displaystyle \begin{aligned} \sum_{n=2}^{\infty} \arctan\left(\frac{F_{n-1}}{F_nF_{n+1}+1} \right)\arctan\left(\frac{F_{n+2}}{F_nF_{n+1}-1} \right) &= \sum_{n=2}^{\infty} (x_{n+1}-x_n)(\pi - (x_{n+1}+x_n)) \\ &= \pi\sum_{n=2}^{\infty} (x_{n+1}-x_n) - \sum_{n=2}^{\infty} (x_{n+1}^2-x_n^2) \\ &= \pi\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \right) - \left(\frac{\pi^2}{4} - \frac{\pi^2}{16} \right) = \frac{\pi^2}{16} \end{aligned}$

Χρησιμοποιήσαμε επίσης ότι $F_n \to \infty$ και συνεπώς $x_n \to \frac{\pi}{2}$ .

Σειρά Fibonacci

Σειρά Fibonacci

Re: Σειρά Fibonacci

Μέλη σε σύνδεση