Προβλήματα Συναρτησιακής Ανάλυσης

TrItOs · #1

Μπορείτε να με βοηθήσετε ως προς την λύση των παρακάτω προβλημάτων:

Πρόβλημα(1): Έστω $k \in C \big( [0,1] \times [0,1] : \mathbb{C} \big)$ και έστω ο τελεστής $A \in L(X)$ με τύπο
$\displaystyle{ (Au)(x) = \int\limits_{0}^{x} k(x,y) u(y) d y , x \in [0,1] }$ .
Είναι $X = \Big( C \big( [0,1] : \mathbb{C} \big) , || \cdot ||_{\infty} = \sup \big \{ | \cdot | : 0 \leq \cdot \leq 1 \big \} \Big)$ .

Να βρεθούν

το φάσμα $\sigma(A)$

και

η φασματική ακτίνα

Πρόβλημα(2): Έστω

ένας χωρος Hilbert

και έστω $A \in L(H)$ ένας αυτοσυζυγης τελεστής για τον οποίο ισχύει $\big< Ax , x \big>_{H} \geq 0, \forall x \in H$ . Να δειχθεί ότι $\displaystyle{ \big| \big| Ax \big| \big|_{H}^{2} \leq \big| \big| A \big| \big|_{L(H)} \big< Ax, x \big>_{H} , \forall x \in H }$

Για το πρόβλημα(1) γνωρίζουμε ότι:
$\displaystyle{ \sigma_{p}(A) = \big \{ eigenvalues of A \big \} \subseteq \sigma(A) \subseteq \big \{ \lambda \in \mathbb{C} : | \lambda | \leq \big| \big| A \big| \big|_{L(X)} \Big \} }$ , το $\sigma(A)$ είναι συμπαγές και $r(A) = \max \big \{ | \lambda | : \lambda \in \sigma(A) \big \}$ .

Για το πρόβλημα(2) γνωρίζουμε ότι:
$A=A^{*}$ , $\displaystyle{ \big| \big| A \big| \big|_{L(H)} = \sup \Big \{ \big< Ax, x \big>_{H} : x \in H , || x ||_{H} = 1 \Big \} \geq \big< Ay, y \big>_{H} }$ για οποιοδήποτε $y \in H , || y ||_{H} = 1$ , έχει πραγματικές ιδιοτιμές.

Μπορείτε σας παρακαλώ να τις λύσετε η να μου πείτε που να ψάξω για την λύση τους, ευχαριστώ πολύ.

#2

TrItOs έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 25, 2022 8:52 pm

Πρόβλημα(2): Έστω ένας χωρος και έστω $A \in L(H)$ ένας αυτοσυζυγης τελεστής για τον οποίο ισχύει $\big< Ax , x \big>_{H} \geq 0, \forall x \in H$ . Να δειχθεί ότι $\displaystyle{ \big| \big| Ax \big| \big|_{H}^{2} \leq \big| \big| A \big| \big|_{L(H)} \big< Ax, x \big>_{H} , \forall x \in H }$

....

Για το πρόβλημα(2) γνωρίζουμε ότι:
$A=A^{*}$ , $\displaystyle{ \big| \big| A \big| \big|_{L(H)} = \sup \Big \{ \big< Ax, x \big>_{H} : x \in H , || x ||_{H} = 1 \Big \} \geq \big< Ay, y \big>_{H} }$ για οποιοδήποτε $y \in H , || y ||_{H} = 1$ , έχει πραγματικές ιδιοτιμές.

Ίσως υπάρχει τρόπος απόδειξης σύμφωνα με την υπόδειξη που δείνεις (δεν το κοίταξα αλλά βλέπε παρακάτω) όμως δίνω έναν διαφορετικό. Θα χρειαστώ α) κάθε συνεχής τελεστής ικανοποιεί ||T^*T|| = ||T||^2

και β) κάθε θετικός τελεστής

έχει τετραγωνική ρίζα, δηλαδή υπάρχει

θετικός (και άρα αυτοσυζυγής) με B^2=A

. Και τα δύο αυτά υπάρχουν σε όλα τα βιβλία Θεωρίας Τελεστών σε χώρους Hilbert.

Άρα

$\displaystyle{||Ax||^2= ||B^2x||^2=||B(Bx)||^2\le ||B||^2||Bx||^2= ||B^*B|| \big <Bx,\, Bx\big >= ||B^2|| \big < B^*Bx,\,x\big >= }$

$\displaystyle{ =||B^2|| \big < B^2x,\,x\big >= ||A|| \big <Ax,\, x\big >}$ , όπως θέλαμε.

Σχολιάζω ότι υπάρχει και μία γενικότερη ανισότητα τύπου Cauchy-Schwarz, συγκεκριμένα η $|\big <Ax,y \big >|^2 \le \big <Ax,x \big > \big <Ay,y \big >$ , από την οποία σίγουρα βγαίνει η αποδεικτέα. Δεν το κοίταξα (ακόμα δεν ... ξύπνησα) αλλά μάλλον για την απόδειξή της χρειάζεται τα ίδια υλικά με την απόδειξη που μόλις έγραψα, οπότε έβαλα την παραπάνω για λόγους πληρότητας.

#3

TrItOs έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 25, 2022 8:52 pm
Μπορείτε να με βοηθήσετε ως προς την λύση των παρακάτω προβλημάτων:

Πρόβλημα(1): Έστω $k \in C \big( [0,1] \times [0,1] : \mathbb{C} \big)$ και έστω ο τελεστής $A \in L(X)$ με τύπο
$\displaystyle{ (Au)(x) = \int\limits_{0}^{x} k(x,y) u(y) d y , x \in [0,1] }$ .
Είναι $X = \Big( C \big( [0,1] : \mathbb{C} \big) , || \cdot ||_{\infty} = \sup \big \{ | \cdot | : 0 \leq \cdot \leq 1 \big \} \Big)$ .

Να βρεθούν
το φάσμα $\sigma(A)$
και
η φασματική ακτίνα
...
Για το πρόβλημα(1) γνωρίζουμε ότι:
$\displaystyle{ \sigma_{p}(A) = \big \{ eigenvalues of A \big \} \subseteq \sigma(A) \subseteq \big \{ \lambda \in \mathbb{C} : | \lambda | \leq \big| \big| A \big| \big|_{L(X)} \Big \} }$ , το $\sigma(A)$ είναι συμπαγές και $r(A) = \max \big \{ | \lambda | : \lambda \in \sigma(A) \big \}$ .

Δεν είμαι τόσο βέβαιος τι ακριβώς ρωτάς αφού δεν γνωρίζουμε τον

(η απάντηση εξαρτάται από τον εκάστοτε συγκεκριμένο

) αλλά νομίζω ότι τα παρακάτω απαντούν πλήρως στο ερώτημά σου.

Η ουσία είναι ότι οι συγκεκριμένοι τελεστές

είναι συμπαγείς. Θα το βρεις αυτό σε όλα τα βιβλία με Integral Operators. Τώρα (βελτιώνοντας την υπόδειξή σου) οι συμπαγείς τελεστές ικανοποιούν α) το

ανήκει στο φάσμα τους (διότι είναι μη αντιστρέψιμοι) και β) τα μη-μηδενικά στοιχεία του φάσματος είναι οι ιδιοτιμές τους. Με άλλα λόγια ισχύει $\displaystyle{\sigma (A) = \sigma_{p}(A) \cup \{0\}$ .

Επίσης, όλοι οι τελεστές (συμπαγείς και μη) έχουν συμπαγές φάσμα. Οπότε η απάντησή στο ερώτημά σου είναι

"το φάσμα $\sigma(A)$ είναι οι ιδιοτιμές του συν το και η φασματική ακτίνα είναι η κατ' απόλυτο μέγιστη ιδιοτιμή"

Δεν νομίζω ότι μπορούμε να πούμε τίποτα παραπάνω.

Προβλήματα Συναρτησιακής Ανάλυσης

Προβλήματα Συναρτησιακής Ανάλυσης

Re: Προβλήματα Συναρτησιακής Ανάλυσης

Re: Προβλήματα Συναρτησιακής Ανάλυσης

Μέλη σε σύνδεση