Ένα άθροισμα

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4807
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Ένα άθροισμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Μάιος 22, 2022 12:24 pm

Να υπολογιστεί το άθροισμα \displaystyle{\sum_{\substack{n =1 \\ n \neq m}}^{\infty} \frac{1}{m^2-n^2}}.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 14452
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ένα άθροισμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Μάιος 23, 2022 10:38 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Μάιος 22, 2022 12:24 pm
Να υπολογιστεί το άθροισμα \displaystyle{\sum_{\substack{n =1 \\ n \neq m}}^{\infty} \frac{1}{m^2-n^2}}.
Απάντηση: -\dfrac {3}{4m^2}

Χωρίζουμε το άθροισμα σε δύο μέρη, τα n<m και n>m. Δηλαδή το γράφουμε ως \displaystyle{ \sum_{\substack{n =1 }}^{m-1} \frac{1}{m^2-n^2} + \sum _{\substack{n =m+1 }}^{\infty} \frac{1}{m^2-n^2}}}.

α) Το πρώτο γράφεται \displaystyle{ \dfrac {1}{2m} \sum_{\substack{n =1 }}^{m-1} \left (  \dfrac{1}{m-n} + \dfrac {1}{m+n} \right )}. Γράφοντας το πρώτο ανάποδα, η όλη παράσταση ισούται

\displaystyle{ \dfrac {1}{2m} \sum_{\substack{n =1 }}^{m-1} \dfrac{1}{n} +  \dfrac {1}{2m} \sum_{\substack{n =m+1 }}^{2m-1} \dfrac {1}{n} =  \dfrac {1}{2m} \sum_{\substack{n =1 \\ n \neq m  }}^{2m-1} \dfrac{1}{n}}

β) Το δεύτερο γράφεται (θα το γράφω ως κάποιο μεγάλο N και στο τέλος θα πάροuμε όριο N\to \infty)

\displaystyle{ \dfrac {1}{2m} \sum_{\substack{n =m+1 }}^{N} \left (  \dfrac{1}{m-n} + \dfrac {1}{m+n} \right )= \dfrac {1}{2m} \sum_{\substack{n =m+1 }}^{N}   \dfrac{1}{m-n} + \dfrac {1}{2m} \sum_{\substack{n =m+1 }}^{N}  \dfrac {1}{m+n}= - \dfrac {1}{2m} \sum_{\substack{n =1 }}^{N-m} \dfrac {1}{n}  + \dfrac {1}{2m} \sum_{\substack{n =2m+1 }}^{N+m} \dfrac{1}{n}}

Απλοποιούμε τώρα τους όρους που εμφανίζονται μια φορά με "πλην" και μια με "συν". Μένει

\displaystyle{- \dfrac {1}{2m} \sum_{\substack{n =1 }}^{2m} \dfrac {1}{n}  + \dfrac {1}{2m} \sum_{\substack{n =N-m+1 }}^{N+m} \dfrac{1}{n}}

Όταν πάρουμε όριο N\to \infty το τελευταίο άθροισμα, που αποτελείται από 2m όρους \dfrac {1}{N{\color {red} -}m+1}+...+\dfrac {1}{N{\color {red} +}m} τείνει στο 0.

Συνοψίζοντας, μετά το όριο, το αρχικό μας άθροισμα είναι το τμήμα που βρήκαμε στο α) μέρος και το κομμάτι που περίσσεψε στο β). Δηλαδή είναι

\displaystyle{\dfrac {1}{2m}  \sum_{\substack{n =1 \\ n \neq m  }}^{2m-1} \dfrac{1}{n}- \dfrac {1}{2m} \sum_{\substack{n =1 }}^{2m} \dfrac {1}{n}}

από όπου απλοποιούνται όλοι οι όροι εκτός από δύο, τους n=m και n=2m. Μένει λοιπόν

\displaystyle{\dfrac {1}{2m} \left (- \dfrac {1}{m} - \dfrac {1}{2m}  \right ) = -\dfrac {3}{4m^2} }

Σχόλιο: Θα μπορούσα να εργαστώ με συναρτήσεις \psi για τυπογραφική ευκολία, αλλά επειδή δεν αλλάζει η ουσία προτίμησα τρόπο που θα ήταν κατανοητός σε φοιτητή στα πρώτα εξάμηνα σπουδών.
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Τετ Μάιος 25, 2022 12:30 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4807
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ένα άθροισμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Μάιος 24, 2022 12:38 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Δευ Μάιος 23, 2022 10:38 pm
Σχόλιο: Θα μπορούσα να εργαστώ με συναρτήσεις \psi για τυπογραφική ευκολία, αλλά επειδή δεν αλλάζει η ουσία προτίμησα τρόπο που θα ήταν κατανοητός σε φοιτητή στα πρώτα εξάμηνα σπουδών.
Άποψή μου πάντα ότι και αυτή τη λύση φοιτητές των πρώτων εξάμηνων σπουδών ... δε θα τη καταλάβαιναν... !!


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 14452
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ένα άθροισμα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Μάιος 24, 2022 1:50 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τρί Μάιος 24, 2022 12:38 pm
Άποψή μου πάντα ότι και αυτή τη λύση φοιτητές των πρώτων εξάμηνων σπουδών ... δε θα τη καταλάβαιναν... !!
Δεν μιλάμε για φοιτητές που δεν ξέρουν το (a+b)^2 =a^2+2ab+b^2 (δυστυχώς μη αμελητέο ποσοστό) αλλά εκείνους που έχουν κάποια βασική Μαθηματική στόφα (ευτυχώς υπάρχουν αρκετοί). Οι φοιτητές που τα Μαθηματικά τους είναι στο επίπεδο της παπαγαλίας, πράγματι δεν θα καταλάβουν την απόδειξη, παρ' όλο που στην πραγματικότητα είναι απλή.

Αν θέλει κανείς να την καταλάβει μπορεί να πάρει το m κάποιον μικρό αριθμό, π.χ. m=5, και να ακολουθήσει τα βήματα. Είναι όλα προφανή, ιδίως αν γράψει κανείς τους προσθετέους σε στήλες. Η μόνη τεχνική δυσκολία είναι το γεγονός ότι εμφανίζεται η αποκλίνουσα \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty } \dfrac {1}{n}}, οπότε δεν μπορούμε να κάνουμε στα τυφλά την αναδιάταξη των προσθετέων. Παρακάμπτουμε την δυσκολία με το να δουλέψουμε με πεπερασμένα αθροίσματα \displaystyle{\sum_{n=1}^N \dfrac {1}{n}} και στο τέλος να πάρουμε όρια (που υπάρχουν γιατί οι πολλοί όροι έχουν απλοποιηθεί).


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 14452
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ένα άθροισμα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Μάιος 25, 2022 9:27 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Τρί Μάιος 24, 2022 1:50 pm
Αν θέλει κανείς να την καταλάβει μπορεί να πάρει το m κάποιον μικρό αριθμό, π.χ. m=5, και να ακολουθήσει τα βήματα. Είναι όλα προφανή, ιδίως αν γράψει κανείς τους προσθετέους σε στήλες.
Για να γίνει απόλυτα σαφές τι εννοώ, το θέτω ως άσκηση:

Δείξτε ότι \displaystyle{\sum_{n=6}^{\infty} \dfrac {1}{n^2-5^2} = \dfrac {1}{10}+ \dfrac {1}{20}+ \dfrac {1}{30}+...+\dfrac {1}{100}}.
H απόδειξη πρέπει να είναι κατανοητή και προσιτή στον φοιτητή του πρώτου εξαμήνου, που μόλις έμαθε λίγα πράγματα για σειρές.


Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 480
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Ένα άθροισμα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Τετ Μάιος 25, 2022 11:31 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Τρί Μάιος 24, 2022 1:50 pm
Η μόνη τεχνική δυσκολία είναι το γεγονός ότι εμφανίζεται η αποκλίνουσα \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty } \dfrac {1}{n}}, οπότε δεν μπορούμε να κάνουμε στα τυφλά την αναδιάταξη των προσθετέων. Παρακάμπτουμε την δυσκολία με το να δουλέψουμε με πεπερασμένα αθροίσματα \displaystyle{\sum_{n=1}^N \dfrac {1}{n}}
Κύριε Λάμπρου ένα σχόλιο πάνω σε αυτό.
Σε οποιαδήποτε σειρά με θετικούς όρους παραμένει ίδια η τιμή της οποιαδήποτε αναδιάταξη και να της κάνουμε, ακόμα και αν αυτή αποκλίνει.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Ερευνητής Μαθηματικός, PhD
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 14452
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ένα άθροισμα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Μάιος 25, 2022 12:43 pm

stranger έγραψε:
Τετ Μάιος 25, 2022 11:31 am
Σε οποιαδήποτε σειρά με θετικούς όρους παραμένει ίδια η τιμή της οποιαδήποτε αναδιάταξη και να της κάνουμε, ακόμα και αν αυτή αποκλίνει.
Σωστά, αλλά εδώ δεν έχουμε μόνο θετικούς όρους. Αυτή που αναδιατάσουμε δεν είναι η \displaystyle{\sum_{n=6}^{\infty} \dfrac {1}{n^2-5^2}} στην μορφή της

\displaystyle{\dfrac {1}{10} \sum_{n=6}^{\infty}\left ( \dfrac {1}{n-5} - \dfrac {1}{n+5} \right ) } αλλά των

\displaystyle{\dfrac {1}{10} \sum_{n=6}^{\infty} \dfrac {1}{n-5}-  \dfrac {1}{10} \sum_{n=6}^{\infty} \dfrac {1}{n+5}}

ανακατεύοντάς τους προσθετέους μεταξύ των. Γι' αυτό προτίμησα άθροισμα από 1 έως N, όπου δεν προκύπτουν προβλήματα.


Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 480
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Ένα άθροισμα

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Τετ Μάιος 25, 2022 2:44 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Τετ Μάιος 25, 2022 12:43 pm
stranger έγραψε:
Τετ Μάιος 25, 2022 11:31 am
Σε οποιαδήποτε σειρά με θετικούς όρους παραμένει ίδια η τιμή της οποιαδήποτε αναδιάταξη και να της κάνουμε, ακόμα και αν αυτή αποκλίνει.
Σωστά, αλλά εδώ δεν έχουμε μόνο θετικούς όρους. Αυτή που αναδιατάσουμε δεν είναι η \displaystyle{\sum_{n=6}^{\infty} \dfrac {1}{n^2-5^2}} στην μορφή της

\displaystyle{\dfrac {1}{10} \sum_{n=6}^{\infty}\left ( \dfrac {1}{n-5} - \dfrac {1}{n+5} \right ) } αλλά των

\displaystyle{\dfrac {1}{10} \sum_{n=6}^{\infty} \dfrac {1}{n-5}-  \dfrac {1}{10} \sum_{n=6}^{\infty} \dfrac {1}{n+5}}

ανακατεύοντάς τους προσθετέους μεταξύ των. Γι' αυτό προτίμησα άθροισμα από 1 έως N, όπου δεν προκύπτουν προβλήματα.
Εντάξει.Τώρα είναι σαφές.Ευχαριστώ.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Ερευνητής Μαθηματικός, PhD
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης