Ένα άθροισμα
Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5222
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Ένα άθροισμα
Να υπολογιστεί το άθροισμα .
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15740
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ένα άθροισμα
Απάντηση:
Χωρίζουμε το άθροισμα σε δύο μέρη, τα και . Δηλαδή το γράφουμε ως .
α) Το πρώτο γράφεται . Γράφοντας το πρώτο ανάποδα, η όλη παράσταση ισούται
β) Το δεύτερο γράφεται (θα το γράφω ως κάποιο μεγάλο και στο τέλος θα πάροuμε όριο )
Απλοποιούμε τώρα τους όρους που εμφανίζονται μια φορά με "πλην" και μια με "συν". Μένει
Όταν πάρουμε όριο το τελευταίο άθροισμα, που αποτελείται από όρους τείνει στο .
Συνοψίζοντας, μετά το όριο, το αρχικό μας άθροισμα είναι το τμήμα που βρήκαμε στο α) μέρος και το κομμάτι που περίσσεψε στο β). Δηλαδή είναι
από όπου απλοποιούνται όλοι οι όροι εκτός από δύο, τους και . Μένει λοιπόν
Σχόλιο: Θα μπορούσα να εργαστώ με συναρτήσεις για τυπογραφική ευκολία, αλλά επειδή δεν αλλάζει η ουσία προτίμησα τρόπο που θα ήταν κατανοητός σε φοιτητή στα πρώτα εξάμηνα σπουδών.
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Τετ Μάιος 25, 2022 12:30 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5222
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Ένα άθροισμα
Άποψή μου πάντα ότι και αυτή τη λύση φοιτητές των πρώτων εξάμηνων σπουδών ... δε θα τη καταλάβαιναν... !!Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Δευ Μάιος 23, 2022 10:38 pmΣχόλιο: Θα μπορούσα να εργαστώ με συναρτήσεις για τυπογραφική ευκολία, αλλά επειδή δεν αλλάζει η ουσία προτίμησα τρόπο που θα ήταν κατανοητός σε φοιτητή στα πρώτα εξάμηνα σπουδών.
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15740
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ένα άθροισμα
Δεν μιλάμε για φοιτητές που δεν ξέρουν το (δυστυχώς μη αμελητέο ποσοστό) αλλά εκείνους που έχουν κάποια βασική Μαθηματική στόφα (ευτυχώς υπάρχουν αρκετοί). Οι φοιτητές που τα Μαθηματικά τους είναι στο επίπεδο της παπαγαλίας, πράγματι δεν θα καταλάβουν την απόδειξη, παρ' όλο που στην πραγματικότητα είναι απλή.Tolaso J Kos έγραψε: ↑Τρί Μάιος 24, 2022 12:38 pmΆποψή μου πάντα ότι και αυτή τη λύση φοιτητές των πρώτων εξάμηνων σπουδών ... δε θα τη καταλάβαιναν... !!
Αν θέλει κανείς να την καταλάβει μπορεί να πάρει το κάποιον μικρό αριθμό, π.χ. , και να ακολουθήσει τα βήματα. Είναι όλα προφανή, ιδίως αν γράψει κανείς τους προσθετέους σε στήλες. Η μόνη τεχνική δυσκολία είναι το γεγονός ότι εμφανίζεται η αποκλίνουσα , οπότε δεν μπορούμε να κάνουμε στα τυφλά την αναδιάταξη των προσθετέων. Παρακάμπτουμε την δυσκολία με το να δουλέψουμε με πεπερασμένα αθροίσματα και στο τέλος να πάρουμε όρια (που υπάρχουν γιατί οι πολλοί όροι έχουν απλοποιηθεί).
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15740
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ένα άθροισμα
Για να γίνει απόλυτα σαφές τι εννοώ, το θέτω ως άσκηση:Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Τρί Μάιος 24, 2022 1:50 pmΑν θέλει κανείς να την καταλάβει μπορεί να πάρει το κάποιον μικρό αριθμό, π.χ. , και να ακολουθήσει τα βήματα. Είναι όλα προφανή, ιδίως αν γράψει κανείς τους προσθετέους σε στήλες.
Δείξτε ότι .
H απόδειξη πρέπει να είναι κατανοητή και προσιτή στον φοιτητή του πρώτου εξαμήνου, που μόλις έμαθε λίγα πράγματα για σειρές.
Re: Ένα άθροισμα
Κύριε Λάμπρου ένα σχόλιο πάνω σε αυτό.Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Τρί Μάιος 24, 2022 1:50 pmΗ μόνη τεχνική δυσκολία είναι το γεγονός ότι εμφανίζεται η αποκλίνουσα , οπότε δεν μπορούμε να κάνουμε στα τυφλά την αναδιάταξη των προσθετέων. Παρακάμπτουμε την δυσκολία με το να δουλέψουμε με πεπερασμένα αθροίσματα
Σε οποιαδήποτε σειρά με θετικούς όρους παραμένει ίδια η τιμή της οποιαδήποτε αναδιάταξη και να της κάνουμε, ακόμα και αν αυτή αποκλίνει.
Κωνσταντίνος Σμπώκος
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15740
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ένα άθροισμα
Σωστά, αλλά εδώ δεν έχουμε μόνο θετικούς όρους. Αυτή που αναδιατάσουμε δεν είναι η στην μορφή της
αλλά των
ανακατεύοντάς τους προσθετέους μεταξύ των. Γι' αυτό προτίμησα άθροισμα από έως , όπου δεν προκύπτουν προβλήματα.
Re: Ένα άθροισμα
Εντάξει.Τώρα είναι σαφές.Ευχαριστώ.Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Τετ Μάιος 25, 2022 12:43 pmΣωστά, αλλά εδώ δεν έχουμε μόνο θετικούς όρους. Αυτή που αναδιατάσουμε δεν είναι η στην μορφή της
αλλά των
ανακατεύοντάς τους προσθετέους μεταξύ των. Γι' αυτό προτίμησα άθροισμα από έως , όπου δεν προκύπτουν προβλήματα.
Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 18 επισκέπτες