Λογαριθμικό ολοκλήρωμα
Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5223
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Λογαριθμικό ολοκλήρωμα
Να δειχθεί ότι:
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 20
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 21, 2017 12:23 pm
Re: Λογαριθμικό ολοκλήρωμα
Φαντάζομαι πως υπάρχει και λύση με χρήση μιγαδικής ανάλυσης, αλλά η άσκηση έχει σαν λέξη-κλειδί "ειδικές συναρτήσεις" οπότε παραθέτω μια τέτοια λύση:
Έστω το δοσμένο ολοκλήρωμα. Κάνουμε την αλλαγή μεταβλητής :
Για το τελευταίο βήμα, διασπάσαμε το ολοκλήρωμα και κάναμε την αλλαγή μεταβλητής στο δεύτερο ολοκλήρωμα.
Μένει να υπολογίσουμε καθένα από τα δύο παραπάνω ολοκληρώματα. Θεωρούμε το ολοκλήρωμα
όπου
Γράφουμε τώρα τα και ως σειρές Taylor με μεταβλητές τα και , και κέντρα και αντίστοιχα. Έχουμε:
Συγκρίνοντας με το ολοκλήρωμα παραπάνω, βλέπουμε πως θέλουμε τους συντελεστές των όρων και
Επίσης, από τον ορισμό του και των συναρτήσεων και , έχουμε:
Χρησιμοποιούμε τώρα τον τύπο του Legendre για τη συνάρτηση (βλέπε, π.χ., εδώ) και έχουμε:
Άρα:
Τώρα, χρησιμοποιούμε την ισότητα:
για κάθε όρο στο κλάσμα. Αυτή προκύπτει άμεσα από τη σειρά Taylor της συνάρτησης . Βλέπε, π.χ., εδώ.
Αν επιπλέον γράψουμε , μπορούμε να εκφράσουμε το ολοκλήρωμα ως δυναμοσειρά με μεταβλητές τις και . Οι πράξεις εδώ είναι αρκετά επίπονες, οπότε τις παραλείπω. (Αν κάποιος τις θέλει αναλυτικά ας μου στείλει ένα μήνυμα και θα χαρώ να τις γράψω.) Η βασική ιδέα είναι πως ενδιαφερόμαστε μόνο για τους συντελεστές των όρων και , άρα κρατάμε μόνο τους πρώτους όρους της δυναμοσειράς. Βρίσκουμε πως:
, και
Τελικά προκύπτει ότι:
,
που ήταν το ζητούμενο.
Έστω το δοσμένο ολοκλήρωμα. Κάνουμε την αλλαγή μεταβλητής :
Για το τελευταίο βήμα, διασπάσαμε το ολοκλήρωμα και κάναμε την αλλαγή μεταβλητής στο δεύτερο ολοκλήρωμα.
Μένει να υπολογίσουμε καθένα από τα δύο παραπάνω ολοκληρώματα. Θεωρούμε το ολοκλήρωμα
όπου
Γράφουμε τώρα τα και ως σειρές Taylor με μεταβλητές τα και , και κέντρα και αντίστοιχα. Έχουμε:
Συγκρίνοντας με το ολοκλήρωμα παραπάνω, βλέπουμε πως θέλουμε τους συντελεστές των όρων και
Επίσης, από τον ορισμό του και των συναρτήσεων και , έχουμε:
Χρησιμοποιούμε τώρα τον τύπο του Legendre για τη συνάρτηση (βλέπε, π.χ., εδώ) και έχουμε:
Άρα:
Τώρα, χρησιμοποιούμε την ισότητα:
για κάθε όρο στο κλάσμα. Αυτή προκύπτει άμεσα από τη σειρά Taylor της συνάρτησης . Βλέπε, π.χ., εδώ.
Αν επιπλέον γράψουμε , μπορούμε να εκφράσουμε το ολοκλήρωμα ως δυναμοσειρά με μεταβλητές τις και . Οι πράξεις εδώ είναι αρκετά επίπονες, οπότε τις παραλείπω. (Αν κάποιος τις θέλει αναλυτικά ας μου στείλει ένα μήνυμα και θα χαρώ να τις γράψω.) Η βασική ιδέα είναι πως ενδιαφερόμαστε μόνο για τους συντελεστές των όρων και , άρα κρατάμε μόνο τους πρώτους όρους της δυναμοσειράς. Βρίσκουμε πως:
, και
Τελικά προκύπτει ότι:
,
που ήταν το ζητούμενο.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 7 επισκέπτες