Eνας τύπος που περιλαμβάνει πρώτους αριθμούς

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Πεδγια
Δημοσιεύσεις: 15
Εγγραφή: Σάβ Νοέμ 06, 2021 5:48 pm
Επικοινωνία:

Eνας τύπος που περιλαμβάνει πρώτους αριθμούς

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πεδγια » Πέμ Ιαν 13, 2022 8:35 am

Καλημέρα!
Μπορεί κάποιος να αποδείξει αυτόν τον τύπο:

\displaystyle{\frac{\pi^3}{18 \sqrt{3}}=\left(\displaystyle\prod_{p \equiv 1 \pmod{6} \atop p \in \mathbb{P} } \frac{p^3}{p^3-1}\right) \cdot \left(\displaystyle\prod_{p \equiv 5 \pmod{6} \atop p \in \mathbb{P} } \frac{p^3}{p^3+1}\right) }

όπου p σημαίνει πρώτος αριθμός .
Αριθμητικός υπολογισμός: SageMathCell



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4735
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Eνας τύπος που περιλαμβάνει πρώτους αριθμούς

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Ιαν 14, 2022 10:33 pm

Η ερώτηση σχετίζεται άμεσα με τις συναρτήσεις \zeta του Burgess. Είναι για παράδειγμα:

\displaystyle{\prod_{p \equiv a \pmod{q}} \left(1 - \frac{1}{p^s}\right)^{-1} = \sum_{n \in \left\langle \mathcal{P} \right\rangle} \frac{1}{n^s}}
όπου \left\langle \mathcal{P} \right\rangle είναι η πολλαπλασιαστική ημιομάδα η οποία παράγεται από το σύνολο των πρώτων που ικανοποιούν τη σχέση p \equiv a \pmod{q}. Από την άλλη είναι

\displaystyle{\prod_{p \equiv a \pmod{q}} \left(1 + \frac{1}{p^s}\right)^{-1} = \sum_{n \in \left\langle \mathcal{P} \right\rangle} \frac{\lambda(n)}{n^s} = \frac{\zeta_{\mathcal{P}}(2s)}{\zeta_{\mathcal{P}}(s)}}
όπου \lambda η συνάρτηση Liouville. Τα αποτελέσματα αυτά , λογικά , αρκούν να βγάλουν το αποτέλεσμα.

Υ.Σ 1: Δεν είμαι γνώστης τόσης προχωρημένης αναλυτικής θεωρίας αριθμών.

Υ.Σ 2: Βλέπω ότι ανεβάζεις θέματα που άπτονται προχωρημένων τεχνικών σειρών. Είναι από κάποιο μάθημα που παρακολουθείς ή απλά για προσωπική σου ενασχόληση;


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Πεδγια
Δημοσιεύσεις: 15
Εγγραφή: Σάβ Νοέμ 06, 2021 5:48 pm
Επικοινωνία:

Re: Eνας τύπος που περιλαμβάνει πρώτους αριθμούς

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πεδγια » Σάβ Ιαν 15, 2022 6:01 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Παρ Ιαν 14, 2022 10:33 pm
Υ.Σ 2: Βλέπω ότι ανεβάζεις θέματα που άπτονται προχωρημένων τεχνικών σειρών. Είναι από κάποιο μάθημα που παρακολουθείς ή απλά για προσωπική σου ενασχόληση;
Σας ευχαριστώ για την απάντηση. Αυτές οι σειρές προέρχονται από τη δική μου μαθηματική έρευνα.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4735
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Eνας τύπος που περιλαμβάνει πρώτους αριθμούς

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Ιαν 15, 2022 8:24 am

Πεδγια έγραψε:
Σάβ Ιαν 15, 2022 6:01 am
...Αυτές οι σειρές προέρχονται από τη δική μου μαθηματική έρευνα.
Ενδιαφέρον!!


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης