Μια φόρμουλα για το ζ(8)

Πεδγια · #1

Καλημέρα!
Μπορεί κάποιος να αποδείξει ή να διαψεύσει τον ακόλουθο τύπο:

$\zeta(8)=12\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^4}\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k^4}$

Αριθμητικός υπολογισμός: SageMathCell

Tolaso J Kos · #2

Έχουμε διαδοχικά:

$\displaystyle{\begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mathcal{H}_{n-1}^{(4)}}{n^4} &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mathcal{H}_n^{(4)} - \frac{1}{n^4}}{n^4} \\ &=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mathcal{H}_n^{(4)}}{n^4} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^8} \end{aligned}}$
Για το τελευταίο άθροισμα παρατηρούμε ότι

$\displaystyle{2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mathcal{H}_n^{(4)}}{n^4} = \zeta(4)\zeta(4) + \zeta(8) \Leftrightarrow 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mathcal{H}_n^{(4)}}{n^4} = \frac{7}{6} \zeta(8) + \zeta(8) = \frac{13 \zeta(8)}{6} }$
Το αποτέλεσμα έπεται.

Υ.Σ 1: Το παρατηρούμε δεν είναι τίποτα άλλο από τη γνωστή συμμετρία αθροισμάτων Euler.

Υ.Σ 2: Υπάρχει και δεύτερη λύση με πολυλογαρίθμους. Κάποια άλλη στιγμή.

Πεδγια · #3

@Tolaso Ευχαριστώ.

Μια φόρμουλα για το ζ(8)

Μια φόρμουλα για το ζ(8)

Re: Μια φόρμουλα για το ζ(8)

Re: Μια φόρμουλα για το ζ(8)

Μέλη σε σύνδεση