Πόσο "κακή" μπορεί να είναι μία συνάρτηση που έχει παντού όριο;

Γ.-Σ. Σμυρλής · #1

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω διάστημα καὶ $f: I\to\mathbb R$ συνάρτηση, μὲ τὴν ἰδιότητα ὅτι διὰ κάθε $x\in I$ , τὸ ὅριο

$\displaystyle{ \lim_{y\to x}f(y) }$

ὑπάρχει στὸ $\mathbb R$ . Δείξατε ὅτι ἡ εἶναι ἀσυνεχὴς σὲ τὸ πολὺ ἀριθμησίμου πλήθους σημεῖα.

#2

Γ.-Σ. Σμυρλής έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 04, 2021 7:11 pm
ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω διάστημα καὶ $f: I\to\mathbb R$ συνάρτηση, μὲ τὴν ἰδιότητα ὅτι διὰ κάθε $x\in I$ , τὸ ὅριο

$\displaystyle{ \lim_{y\to x}f(y) }$

ὑπάρχει στὸ $\mathbb R$ . Δείξατε ὅτι ἡ εἶναι ἀσυνεχὴς σὲ τὸ πολὺ ἀριθμησίμου πλήθους σημεῖα.

Tα σημεία ασυνέχειας είναι τα $x\in I$ με $\displaystyle{\lim_{y\to x}f(y) \ne f(x)}$ , τα οποία θέλουμε να δείξουμε ότι είναι αριθμήσιμα το πλήθος. Χωρίς βλάβη αρκεί να δείξουμε ότι το σύνολο $A= \{x \in I \, | \lim_{y\to x}f(y) > f(x) \}$ είναι αριθμήσιμο (όμοια για την ανάποδη ανισότητα).

Για κάθε $a\in A$ επιλέγουμε δύο ρητούς p<a<q

τόσο κοντά στο

ώστε για κάθε $x\in (p,\, q)$ να ισχύει $f(x) > f(a)\, (*)$ .

Ισχυρίζομαι ότι αν $b\in A$ και $c\in A$ είναι δύο στοιχεία του

τότε αποκλείεται το ζεύγος $(p,\, q)$ που αντιστοιχεί στα $b,\,c$ να είναι το ίδιο.

Έστω λοιπόν (χωρίς βλάβη) b<c

και έστω ότι τα $b,\,c$ έχουν το ίδιο ζεύγος από $p,\, q$ . Δηλαδή p<b<c<q

και ισχύει η (*)

με

ή

στην θέση του

. Θα οδηγηθούμε σε άτοπο.

Πράγματι, αφού ισχύει p<c<q

, η

δίνει

.

Από την άλλη αφού p<b<q

, η

δίνει

.

Οι δύο τελευταίες είναι ασυμβίβαστες. Συμπεραίνουμε ότι το ζεύγος (p,q)

είναι διαφορετικό για κάθε $b\ne c$ . Όμως (εδώ είναι το κλειδί), το σύνολο $\mathbb Q \times \mathbb Q$ είναι αριθμήσιμο. Από αυτά έπεται η ζητούμενη αριθμησιμότητα.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Μια άλλη αντιμετώπιση είναι η εξής(πιο πολύπλοκη από του Μιχάλη)
Το $A= \{x \in I \, | \lim_{y\to x}f(y) > f(x) \}$
γράφεται
$\displaystyle A= \{x \in I \, | \lim_{y\to x}f(y) > f(x) \}=\cup _{q\in \mathbb{Q}}\{x \in I \, | \lim_{y\to x}f(y) >q> f(x) \}$
Αρκεί να δείξουμε ότι
το σύνολο $\{x \in I \, | \lim_{y\to x}f(y) >q> f(x) \}$ είναι αριθμήσιμο.
Για ένα

στο σύνολο υπάρχει c_x>0

ώστε
$t\in (x-c_x,x+c_x)-\left \{ x \right \}\Rightarrow f(t)>q$
Ετσι η τομή του συνόλου με το

είναι το

.
Εύκολα βλέπουμε ότι τα $(x-\frac{1}{2}c_x,x+\frac{1}{2}c_x)$
είναι ξένα που μας δίνει ότι είναι αριθμήσιμο.
Ομοια για το $\{x \in I \, | \lim_{y\to x}f(y) < f(x) \}$

Πόσο "κακή" μπορεί να είναι μία συνάρτηση που έχει παντού όριο;

Πόσο "κακή" μπορεί να είναι μία συνάρτηση που έχει παντού όριο;

Re: Πόσο "κακή" μπορεί να είναι μία συνάρτηση που έχει παντού όριο;

Re: Πόσο "κακή" μπορεί να είναι μία συνάρτηση που έχει παντού όριο;

Μέλη σε σύνδεση