Σειρά υπερβολικού ημιτόνου

Tolaso J Kos · #1

Να υπολογιστεί η σειρά $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sinh 2^n}}$ .

Tolaso J Kos · #2

Έχουμε διαδοχικά:

$\displaystyle{\begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sinh 2^n} &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{e^{2^n} - e^{-2^n}} \\ &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{e^{2n} \left ( 1 - e^{-2 \cdot 2^n} \right )} \\ &= 2 \sum_{n=1}^{\infty} e^{-2^n} \sum_{m=0}^{\infty} e^{-2m \cdot 2^n }\\ &=2 \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{m=0}^{\infty} e^{-\left ( 2m+1 \right ) 2^n} \\ &=2 \sum_{j=1}^{\infty} e^{-2j} \\ &= \frac{2}{e^2-1} \end{aligned}}$
καθώς κάθε θετικός ζυγός ακέραιος

γράφεται μοναδικά στη μορφή (2m+1) 2^n

με $m \in \mathbb{N}$ και $n \in \mathbb{N}^+$ .

Σειρά υπερβολικού ημιτόνου

Σειρά υπερβολικού ημιτόνου

Re: Σειρά υπερβολικού ημιτόνου

Μέλη σε σύνδεση