Γενικευμένο Ολοκλήρωμα Riemann

stranger · #1

Μπορούμε να πούμε κάτι για το παρακάτω Γενικευμένο ολοκλήρωμα Riemann;
$I(x) = \int_{1}^{\infty} [\sqrt{t}]x^t dt$ , όπου το

ανήκει σε ένα κύκλο με κέντρο

και ακτίνας μικρότερης του 1 στο μιγαδικό επίπεδο.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

stranger έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 22, 2021 11:39 am
Μπορούμε να πούμε κάτι για το παρακάτω Γενικευμένο ολοκλήρωμα Riemann;
$I(x) = \int_{1}^{\infty} [\sqrt{t}]x^t dt$ , όπου το ανήκει σε ένα κύκλο με κέντρο και ακτίνας μικρότερης του 1 στο μιγαδικό επίπεδο.

Εκείνο που είναι σίγουρο είναι ότι συγκλίνει.
Γιατί
$\displaystyle \int_{1}^{\infty}| [\sqrt{t}]x^t |dt\leq \int_{1}^{\infty}t|x^t| dt$
αφού
$\displaystyle |x^t|=e^{(\ln |x|)t},\ln |x|<0$
Βέβαια θα πρέπει να πουμε και με ποιόν τρόπο ορίζουμε την δύναμη,ο οποίος δεν παίζει ρόλο
για την σύγκλιση.

stranger · #3

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 23, 2021 9:11 am

stranger έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 22, 2021 11:39 am
Μπορούμε να πούμε κάτι για το παρακάτω Γενικευμένο ολοκλήρωμα Riemann;
$I(x) = \int_{1}^{\infty} [\sqrt{t}]x^t dt$ , όπου το ανήκει σε ένα κύκλο με κέντρο και ακτίνας μικρότερης του 1 στο μιγαδικό επίπεδο.
Εκείνο που είναι σίγουρο είναι ότι συγκλίνει.
Γιατί
$\displaystyle \int_{1}^{\infty}| [\sqrt{t}]x^t |dt\leq \int_{1}^{\infty}t|x^t| dt$
αφού
$\displaystyle |x^t|=e^{(\ln |x|)t},\ln |x|<0$
Βέβαια θα πρέπει να πουμε και με ποιόν τρόπο ορίζουμε την δύναμη,ο οποίος δεν παίζει ρόλο
για την σύγκλιση.

Μπορούμε να βρούμε κάποιον τύπο για αυτό το ολοκλήρωμα;
Π.χ. αν η ακτίνα είναι $\frac{1}{e}$ , μοιάζει με την συνάρτηση $\Gamma$ .

Γενικευμένο Ολοκλήρωμα Riemann

Γενικευμένο Ολοκλήρωμα Riemann

Re: Γενικευμένο Ολοκλήρωμα Riemann

Re: Γενικευμένο Ολοκλήρωμα Riemann

Μέλη σε σύνδεση