Μια ανίσωση

Summand · #1

Έστω

θετική, αύξουσα και παραγωγίσιμη συνάρτηση. Να αποδειχτεί ότι:

$\displaystyle{\int_{0}^{\infty}e^{-t-f(t)}\sqrt{1+\left ( f'(t) \right )^2}dt\geq \sqrt{\alpha ^2+(\alpha -e^{-f(0)})^2}}$

όπου $\displaystyle{\alpha =\int_{0}^{\infty }e^{-t-f(t)}dt}$

Η άσκηση δεν γνωρίζω από που προέρχεται, την είχα δει πριν καιρό σε κάποιο pdf σημειώσεων για ανισώσεις το οποίο δεν μπορώ να βρω.
Δεν έχω λύση ακόμη, αλλά θυμίζει αρκετά επικαμπύλιο και το δουλεύω σε αυτήν την κατεύθυνση.

Edit: Μετά από διάφορες προσπάθειες η μόνη που απέδωσε κάτι ήταν η εξής:

$\displaystyle{\int_{0}^{\infty}e^{-t-f(t)}\sqrt{1+\left ( f'(t) \right )^2}dt\geq \int_{0}^{\infty}e^{-t-f(t)}dt = \alpha$

$\displaystyle{\int_{0}^{\infty}e^{-t-f(t)}\sqrt{1+\left ( f'(t) \right )^2}dt\geq \int_{0}^{\infty}e^{-t-f(t)}f'(t)dt = \int_{0}^{\infty}e^{-t-f(t)}(1+\left f'(t) \right)dt - \alpha = e^{-f(0)} - \alpha$

Υψώνουμε στο τετράγωνο, προσθέτουμε και παίρνουμε τη ρίζα οπότε έχουμε

$\displaystyle{\displaystyle{\sqrt{2} \int_{0}^{\infty}e^{-t-f(t)}\sqrt{1+\left ( f'(t) \right )^2}dt\geq \sqrt{\alpha ^2+(\alpha -e^{-f(0)})^2}}}}$

όμως η εκτίμηση δεν είναι αρκετά καλή.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Summand έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 04, 2021 5:22 pm
Έστω θετική, αύξουσα και παραγωγίσιμη συνάρτηση. Να αποδειχτεί ότι:

$\displaystyle{\int_{0}^{\infty}e^{-t-f(t)}\sqrt{1+\left ( f'(t) \right )^2}dt\geq \sqrt{\alpha ^2+(\alpha -e^{-f(0)})^2}}$

όπου $\displaystyle{\alpha =\int_{0}^{\infty }e^{-t-f(t)}dt}$

Η άσκηση δεν γνωρίζω από που προέρχεται, την είχα δει πριν καιρό σε κάποιο pdf σημειώσεων για ανισώσεις το οποίο δεν μπορώ να βρω.
Δεν έχω λύση ακόμη, αλλά θυμίζει αρκετά επικαμπύλιο και το δουλεύω σε αυτήν την κατεύθυνση.

Edit: Μετά από διάφορες προσπάθειες η μόνη που απέδωσε κάτι ήταν η εξής:

$\displaystyle{\int_{0}^{\infty}e^{-t-f(t)}\sqrt{1+\left ( f'(t) \right )^2}dt\geq \int_{0}^{\infty}e^{-t-f(t)}dt = \alpha$

$\displaystyle{\int_{0}^{\infty}e^{-t-f(t)}\sqrt{1+\left ( f'(t) \right )^2}dt\geq \int_{0}^{\infty}e^{-t-f(t)}f'(t)dt = \int_{0}^{\infty}e^{-t-f(t)}(1+\left f'(t) \right)dt - \alpha = e^{-f(0)} - \alpha$

Υψώνουμε στο τετράγωνο, προσθέτουμε και παίρνουμε τη ρίζα οπότε έχουμε

$\displaystyle{\displaystyle{\sqrt{2} \int_{0}^{\infty}e^{-t-f(t)}\sqrt{1+\left ( f'(t) \right )^2}dt\geq \sqrt{\alpha ^2+(\alpha -e^{-f(0)})^2}}}}$

όμως η εκτίμηση δεν είναι αρκετά καλή.

Καλά το πας.
Η προς απόδειξη γράφεται

$\displaystyle (\int_{0}^{\infty}e^{-t-f(t)}\sqrt{1+\left ( f'(t) \right )^2}dt)^2 \geq (\int_{0}^{\infty}e^{-t-f(t)}f'(t)dt )^{2}+(\int_{0}^{\infty}e^{-t-f(t)}dt )^{2}$

Ολα τα λεφτά είναι να γράψεις

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Εχει βέβαια και λίγη δουλειά μετά.
Προσπάθησε και τα λέμε.

Συμπλήρωμα. Κάποιες προυποθέσεις είναι άχρηστες.
Η ανισότητα ισχύει όταν η συνάρτηση είναι παραγωγίσημη .

#3

Στη μορφή που τη γράφει ο Σταύρος είναι άμεση από την

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Summand · #4

Ευχαριστώ πολύ για τις λύσεις σας!

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 05, 2021 9:34 am

Ολα τα λεφτά είναι να γράψεις

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
$\displaystyle (\int_{0}^{\infty }q(x)dx)^2=\int_{0}^{\infty }\int_{0}^{\infty }q(x)q(y)dxdy$
Εχει βέβαια και λίγη δουλειά μετά.
Προσπάθησε και τα λέμε.

Δεν έχω καταφέρει να το προχωρήσω από εδώ.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Summand έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 07, 2021 12:49 am
Ευχαριστώ πολύ για τις λύσεις σας!

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 05, 2021 9:34 am

Ολα τα λεφτά είναι να γράψεις

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
$\displaystyle (\int_{0}^{\infty }q(x)dx)^2=\int_{0}^{\infty }\int_{0}^{\infty }q(x)q(y)dxdy$
Εχει βέβαια και λίγη δουλειά μετά.
Προσπάθησε και τα λέμε.

Δεν έχω καταφέρει να το προχωρήσω από εδώ.

$\displaystyle (\int_{0}^{\infty}e^{-t-f(t)}f'(t)dt )^{2}+(\int_{0}^{\infty}e^{-t-f(t)}dt )^{2}=(\int_{0}^{\infty}e^{-x-f(x)}f'(x)dx )(\int_{0}^{\infty}e^{-y-f(y)}f'(y)dy )+(\int_{0}^{\infty}e^{-x-f(x)}dx )(\int_{0}^{\infty}e^{-y-f(y)}dy)=$
$\displaystyle \int_{0}^{\infty }\int_{0}^{\infty }e^{-x-f(x)}e^{-y-f(y)}(1+f'(x)f'(y))dxdy\leq$
$\displaystyle \int_{0}^{\infty }\int_{0}^{\infty }e^{-x-f(x)}e^{-y-f(y)}(\sqrt{1+(f'(x))^2})\sqrt{1+(f'(y))^2}dxdy=$
$\displaystyle (\int_{0}^{\infty}e^{-t-f(t)}\sqrt{1+\left ( f'(t) \right )^2}dt)^2$

οπου στο προτελευταίο βήμα χρησιμοποιήθηκε και η C-S

Μια ανίσωση

Μια ανίσωση

Re: Μια ανίσωση

Re: Μια ανίσωση

Re: Μια ανίσωση

Re: Μια ανίσωση

Μέλη σε σύνδεση