Συνάρτηση

mick7 · #1

Να βρεθεί η f(x)

που ικανοποιεί την

$\displaystyle f(x)=c+\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(t)sin(x+t)dt$

οπου

πραγματική σταθερά.

#2

mick7 έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 28, 2021 1:24 pm
Να βρεθεί η που ικανοποιεί την

$\displaystyle f(x)=c+\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(t)sin(x+t)dt$

οπου πραγματική σταθερά.

$\displaystyle f(x)=c+\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(t)(\sin x \cos t + \cos x \sin t )dt=$

$\displaystyle{=c+\sin x \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(t) \cos t dt + \cos x \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(t) \sin t dt= }$

$\displaystyle{=c+A\sin x +B \cos x }$ για κάποιες σταθερές A,B

Έτσι ξέρουμε την μορφή της

. Βάζοντας την

πίσω στην αρχική έχουμε

$\displaystyle{c+A\sin x +B \cos x = c+\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (c+A\sin t +B \cos t)sin(x+t) dt=}$

$\displaystyle{=3c\sinx+2A\sin ^2x+2B\cos x \sin x}$

Συγκρίνοντας συντελεστές, πράγμα που μας επιτρέπει η γραμμική ανεξαρτησία των συναρτήσεων που βλέπουμε,

καταλήγουμε ότι c=A=B=0

(αλλά υπόψη η

δίνεται).

Συμπέρασμα: Αν c=0

, μοναδική λύση η f=0

. Αλλιώς αδύνατη.

Συνάρτηση

Συνάρτηση

Re: Συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση