Σύγκλιση σειράς συναρτήσεων 10

#1

Να αποδειχθεί ότι η σειρά συναρτήσεων $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n}{n(1+x^{2n})}$

συγκλίνει κατά σημείο επί του $(1,+\infty)$ ,
δεν συγκλίνει ομοιόμορφα επί του $(1,+\infty)$ .

Σημείωση: Δεν έχω λύση για το b.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

grigkost έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 28, 2021 1:19 pm
Να αποδειχθεί ότι η σειρά συναρτήσεων $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n}{n(1+x^{2n})}$

συγκλίνει κατά σημείο επί του $(1,+\infty)$ ,

δεν συγκλίνει ομοιόμορφα επί του $(1,+\infty)$ .

Σημείωση: Δεν έχω λύση για το b.

Για

και $n\in \mathbb{N}$
είναι
$\displaystyle \frac{x^n}{n(1+x^{2n})}<(\frac{1}{x})^n$
οπότε η κατά σημείο σύγκλιση προκύπτει λόγω θετικότητας και σύγκλισης γεωμετρικής σειράς.

Η σύγκλιση δεν είναι ομοιόμορφη.
Εστω ότι ήταν.
Για $\epsilon =\frac{1}{10}$
θα υπήρχε n_0

ώστε για $m>k\geq n_0$
να είναι

$\displaystyle \sum_{n=k+1}^{m}\frac{x^n}{n(1+x^{2n})}< \frac{1}{10}$

για κάθε x>1

Για

παίρνουμε
$\displaystyle \sum_{n=k+1}^{2k}\frac{x^n}{n(1+x^{2n})}< \frac{1}{10}$

Θεωρώντας το

σταθερό και παίρνοντας $x\rightarrow 1^{+}$
έχουμε

$\displaystyle \sum_{n=k+1}^{2k}\frac{1}{2n} \leq \frac{1}{10}$
πράγμα ΑΤΟΠΟ.
(το άθροισμα είναι μεγαλύτερο του $\frac{1}{4}$ )

#3

Σταύρο, όμορφη λύση.
Δίνω ακόμα μια (συμπεριλαμβανομένου και του ερωτήματος b. στο οποίο μπόρεσα να δώσω μια λύση).

Για κάθε $n\in\mathbb{N}$ , οι συναρτήσεις $\sigma_{n}(x)=\sum_{k=1}^{n}\frac{x^k}{k(1+x^{2k})}\,,\; x\in (1,+\infty),$ είναι γνησίως φθίνουσες, αφού είναι παραγωγίσιμες στο $(1,+\infty)$ με

$\begin{aligned} \frac{d}{dx}\sigma_{n}(x)=-\sum_{k=1}^{n}\frac{x^{3k-1}-x^{k-1}}{(1+x^{2k})^2}=-\sum_{k=1}^{n}\frac{x^{k-1}(x^{2k}-1)}{(1+x^{2k})^2}<0\,. \end{aligned}$

Διαγράφτηκε η λανθασμένη λύση.
Ευχαριστώ τον Σταύρο Παπαδόπουλο που το παρατήρησε!
Εφόσον βρω κάποια διαφορετική από αυτή που έδωσε ο Σταύρος, θα επανέλθω.
$\big({\exists\,\varepsilon=\tfrac{1}{50}>0}\big)({\forall\,N\in\mathbb{N}})({\exists\,m=N,\,n=2N})\big({\exists\,x=1+\frac{1}{N+1}\in({1,+\infty})}\big)$ ώστε $n>{m}\geqslant{N}$ και

$\begin{aligned} \displaystyle\left|{\mathop{\sum}\limits_{k=m+1}^{n}\frac{\big(1+\frac{1}{N+1}\big)^k}{k\big(1+\big(1+\frac{1}{N+1}\big)^{2k}\big)}}\right|&=\mathop{\sum}\limits_{k=N+1}^{2N}\frac{\big(1+\frac{1}{N+1}\big)^k}{k\big(1+\big(1+\frac{1}{N+1}\big)^{2k}\big)}\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &\stackrel{N+1\leqslant k\leqslant 2N}{\geqslant}\mathop{\sum}\limits_{k=N+1}^{2N}\frac{\big(1+\frac{1}{N+1}\big)^{N+1}}{k\big(1+\big(1+\frac{1}{N+1}\big)^{4N}\big)}\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=\frac{\big(1+\frac{1}{N+1}\big)^{N+1}}{1+\big(1+\frac{1}{N+1}\big)^{4N}}\mathop{\sum}\limits_{k=N+1}^{2N}\frac{1}{k}\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &\geqslant\frac{{\rm{e}}}{{\rm{e}}^4+1}\mathop{\sum}\limits_{k=N+1}^{2N}\frac{1}{k}\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &\geqslant\frac{{\rm{e}}}{{\rm{e}}^4+1}\,\frac{1}{2}\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &>\varepsilon\,. \end{aligned}$

Άρα η σειρά $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n}{n(1+x^{2n})}$ δεν συγκλίνει ομοιόμορφα επί του $(1,+\infty)$ .

edit: 09:46, 29/9/2021

Σύγκλιση σειράς συναρτήσεων 10

Σύγκλιση σειράς συναρτήσεων 10

Re: Σύγκλιση σειράς συναρτήσεων 10

Re: Σύγκλιση σειράς συναρτήσεων 10

Μέλη σε σύνδεση