grigkost έγραψε: ↑Τρί Σεπ 28, 2021 1:19 pm
Να αποδειχθεί ότι η σειρά συναρτήσεων
- συγκλίνει κατά σημείο επί του ,
- δεν συγκλίνει ομοιόμορφα επί του .
Σημείωση: Δεν έχω λύση για το b.
Για
και
είναι
οπότε η κατά σημείο σύγκλιση προκύπτει λόγω θετικότητας και σύγκλισης γεωμετρικής σειράς.
Η σύγκλιση δεν είναι ομοιόμορφη.
Εστω ότι ήταν.
Για
θα υπήρχε
ώστε για
να είναι
για κάθε
Για
παίρνουμε
Θεωρώντας το
σταθερό και παίρνοντας
έχουμε
πράγμα ΑΤΟΠΟ.
(το άθροισμα είναι μεγαλύτερο του
)