Ολοκλήρωμα από αλοκλήρωμα

#1

Μία συνεχής συνάρτηση $f:\mathbb R \longrightarrow \mathbb R$ ικανοποιεί f(2x) =3f(x)

για κάθε $x\in \mathbb R$ .

α) Βρείτε παράδειγμα μίας τέτοιας συνάρτησης.

β) Αν μία τέτοια

(όχι κατ' ανάγκη αυτή που βρήκατε) ικανοποιεί $\displaystyle{\int _0^1f(x)dx=1}$ , υπολογίστε το $\displaystyle{\int _1^2f(x)dx}$ .

ksofsa · #2

Καλημέρα!

Για το πρώτο ερώτημα:

Μια οικογένεια συναρτήσεων που ικανοποιούν τη δοσμένη σχέση και την υπόθεση της συνέχειας είναι η:

$f(x)=a\left | x \right |^{log_{2}3}$ , με το

να διατρέχει όλο το

.

Μάλιστα, για a=0

, έχουμε τη μηδενική συνάρτηση, που επαληθεύει πράγματι (τετριμμένη περίπτωση).

Για το δεύτερο ερώτημα:

$1=\int_{0}^{1}f(x)dx=\int_{0}^{2}f(\frac{u}{2})\frac{1}{2}du=\frac{1}{2}\int_{0}^{2}f(\frac{u}{2})du=\frac{1}{2}\int_{0}^{2}\frac{f(u)}{3}du=\frac{1}{6}\int_{0}^{2}f(x)dx$ .

Άρα,

$\int_{1}^{2}f(x)dx=\int_{0}^{2}f(x)dx-\int_{0}^{1}f(x)dx=6-1=5$ .

Παράδειγμα συνάρτησης που επαληθεύει και την αρχική υπόθεση και την υπόθεση του δεύτερου ερωτήματος είναι η συνάρτηση:

$f(x)=(log_{2}3+1)\left | x \right |^{log_{2}3}$ .

Ολοκλήρωμα από αλοκλήρωμα

Ολοκλήρωμα από αλοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα από αλοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση