Ελάχιστο ολοκληρώματος

Tolaso J Kos · #1

Έστω $\mathbb{M}$ το σύνολο Borel όλων των ολοκληρώσιμων συναρτήσεων $f:[0, \pi] \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε

$\displaystyle{\int_0^\pi f(x) \sin x \, \mathrm{d}x = \int_0^\pi f(x) \cos x \, \mathrm{d}x = 1}$
Να βρεθεί το ελάχιστο του ολοκληρώματος $\displaystyle{\min_{f\in \mathbb{M}} \int_0^\pi f^2(x) \, \mathrm{d}x}$ .

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 09, 2021 10:02 am
Έστω $\mathbb{M}$ το σύνολο Borel όλων των ολοκληρώσιμων συναρτήσεων

Τόλη, μπορείς να ελέγξεις ότι η εκφώνηση είναι σωστή; Τι ακριβώς λέει (στην γλώσσα του) το πρωτότυπο κείμενο;

Tolaso J Kos · #3

: F4A7EDF9-0100-4253-A490-72BFBB7EFA97.jpeg (48.39 KiB) Προβλήθηκε 692 φορές

#4

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 09, 2021 10:02 am
Έστω $\mathbb{M}$ το σύνολο Borel όλων των ολοκληρώσιμων συναρτήσεων...

Ωραία. Πρέπει λοιπόν η εκφώνηση να αλλάξει σε

Έστω $\mathbb{M}$ το σύνολο όλων των Borel ολοκληρώσιμων συναρτήσεων...

(Υπόψη ότι τα σύνολα Borel είναι κάτι άλλο).

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Η άσκηση είναι επιπέδου Λυκείου.
Το ελάχιστο πιάνεται σε συνεχή συνάρτηση οπότε το Borel
είναι παραμύθι.

sot arm · #6

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 09, 2021 10:02 am
Έστω $\mathbb{M}$ το σύνολο Borel όλων των ολοκληρώσιμων συναρτήσεων $f:[0, \pi] \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε

$\displaystyle{\int_0^\pi f(x) \sin x \, \mathrm{d}x = \int_0^\pi f(x) \cos x \, \mathrm{d}x = 1}$
Να βρεθεί το ελάχιστο του ολοκληρώματος $\displaystyle{\min_{f\in \mathbb{M}} \int_0^\pi f^2(x) \, \mathrm{d}x}$ .

Είναι κλασσικό το τρικ, έχουμε ότι:

$\displaystyle{ \int_{0}^{\pi} (f(x)-\frac{2}{\pi}sin(x)-\frac{2}{\pi}cos(x))^{2}dx \geq 0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ \int_{0}^{\pi}f^{2}(x)dx + \frac{4}{\pi^{2}}\int_{0}^{\pi}1dx -\frac{8}{\pi} \geq 0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ \int_{0}^{\pi} f^{2}(x)dx \geq \frac{4}{\pi}}$

Η ισότητα πιάνεται για την $f(x) = \frac{2}{\pi}sin(x)+\frac{2}{\pi}cos(x)$ που ικανοποιεί την συνθήκη.

Το τρικ που αναφέρω παραπάνω είναι ότι η ολοκληρωτέες ποσότητες στην συνθήκη (με μία σταθερά μπροστά)προκύπτουν από το ανάπτυγμα τετραγώνου:

$\displaystyle{(f(x)-asin(x)-bcos(x))^{2} }$

Όπως και η ποσότητα που θέλουμε να φράξουμε, οπότε είναι μετά απλή άλγεβρα να βρώ τις σταθερές a,b

ώστε να ικανοποιούνται οι συνθήκες και προκύπτουν άμεσα και το φράγμα και η συνάρτηση που πιάνεται η ισότητα και να ικανοποιούνται οι συνθήκες. Όπως γράφει και ο κ. Σταύρος προφανώς όλα αυτά με τις Borel

δεν έχουν καμία σχέση.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #7

sot arm έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 10, 2021 12:39 am

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 09, 2021 10:02 am
Έστω $\mathbb{M}$ το σύνολο Borel όλων των ολοκληρώσιμων συναρτήσεων $f:[0, \pi] \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε

$\displaystyle{\int_0^\pi f(x) \sin x \, \mathrm{d}x = \int_0^\pi f(x) \cos x \, \mathrm{d}x = 1}$
Να βρεθεί το ελάχιστο του ολοκληρώματος $\displaystyle{\min_{f\in \mathbb{M}} \int_0^\pi f^2(x) \, \mathrm{d}x}$ .
Είναι κλασσικό το τρικ, έχουμε ότι:

$\displaystyle{ \int_{0}^{\pi} (f(x)-\frac{2}{\pi}sin(x)-\frac{2}{\pi}cos(x))^{2}dx \geq 0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ \int_{0}^{\pi}f^{2}(x)dx + \frac{4}{\pi^{2}}\int_{0}^{\pi}1dx -\frac{8}{\pi} \geq 0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ \int_{0}^{\pi} f^{2}(x)dx \geq \frac{4}{\pi}}$

Η ισότητα πιάνεται για την $f(x) = \frac{2}{\pi}sin(x)+\frac{2}{\pi}cos(x)$ που ικανοποιεί την συνθήκη.

Το τρικ που αναφέρω παραπάνω είναι ότι η ολοκληρωτέες ποσότητες στην συνθήκη (με μία σταθερά μπροστά)προκύπτουν από το ανάπτυγμα τετραγώνου:

$\displaystyle{(f(x)-asin(x)-bcos(x))^{2} }$

Όπως και η ποσότητα που θέλουμε να φράξουμε, οπότε είναι μετά απλή άλγεβρα να βρώ τις σταθερές ώστε να ικανοποιούνται οι συνθήκες και προκύπτουν άμεσα και το φράγμα και η συνάρτηση που πιάνεται η ισότητα και να ικανοποιούνται οι συνθήκες. Όπως γράφει και ο κ. Σταύρος προφανώς όλα αυτά με τις δεν έχουν καμία σχέση.

Το τρικ είναι για το Λύκειο.
Στην ουσία έχουμε ανισότητα Bessel .
Το βασικό είναι ότι $\displaystyle \int_{0}^{\pi }\sin x \cos x dx=0,\int_{0}^{\pi }(\sin x)^2 dx=\int_{0}^{\pi }(\cos x)^2 dx=\frac{\pi }{2}$

Ελάχιστο ολοκληρώματος

Ελάχιστο ολοκληρώματος

Re: Ελάχιστο ολοκληρώματος

Re: Ελάχιστο ολοκληρώματος

Re: Ελάχιστο ολοκληρώματος

Re: Ελάχιστο ολοκληρώματος

Re: Ελάχιστο ολοκληρώματος

Re: Ελάχιστο ολοκληρώματος

Μέλη σε σύνδεση