Μέγιστο εμβαδόν σε ομόκεντρους κύκλους

Tolaso J Kos · #1

Έστω ομόκεντροι κύκλοι με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνες

,

αντίστοιχα. Να βρεθεί το μέγιστο εμβαδόν τριγώνου του οποίου η κάθε κορυφή βρίσκεται και σε διαφορετικό κύκλο όπως φαίνεται στο σχήμα.

$\displaystyle{\begin{tikzpicture} \foreach \i in {1, 2, 3} { \draw (0, 0) circle(\i cm); } \draw[dashed, red!60!black, line width=1.6pt] (1, 0) -- (-2.27, 1.96) -- (-1.01, -1.73) -- cycle; \draw (1, 0) node[above right]{A}; \draw (-2.27, 1.96) node[left]{C}; \draw (-1.01, -1.73) node[below]{B}; \draw[fill=black] (0, 0) circle(2pt); \end{tikzpicture}}$
Άνευ λύσης.

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 08, 2021 8:00 pm
Έστω ομόκεντροι κύκλοι με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνες , , αντίστοιχα. Να βρεθεί το μέγιστο εμβαδόν τριγώνου του οποίου η κάθε κορυφή βρίσκεται και σε διαφορετικό κύκλο όπως φαίνεται στο σχήμα.

Χωρίς τις πράξεις από την παραγώγιση και πέρα, γιατί δεν τολμώ να τις κάνω.

Χωρίς βλάβη η πλευρά

είναι παράλληλη του άξονα των

.

Επειδή ο "βόρειος πόλος" του εξωτερικού κύκλου είναι σε μέγιστη απόσταση από την

, είναι σαφές ότι η κορυφή

του τριγώνου είναι στον βόρειο αυτό πόλο (σε οποιαδήποτε άλλη θέση, το ύψος του τριγώνου θα ήταν μικρότερο και άρα δεν θα είχαμε το μέγιστο εμβαδόν).

Έχουμε λοιπόν συντεταγμένες της εξής μορφής: $A(0,3),\, B(-b,-p),\, C(c,-p)$ για κάποια θετικά b,c,p

. Tα

ικανοποιούν $a^2+p^2=1^2,\, b^2+p^2=2^2$ . To εμβαδόν του τριγώνου είναι

$\displaystyle{\dfrac {1}{2} (c+b)(3+p)= \dfrac {1}{2} (\sqrt {1-p^2}+\sqrt {4-p^2})(3+p)}$ .

To μέγιστο αυτού το βρίσκουμε με παραγώγιση ως προς

. Δεν το έκανα γιατί οδηγεί σε επίπονες πράξεις. Άλλωστε δεν πιστεύω ότι η παράσταση που θα βγει, μπορεί να επιλυθεί.

nickchalkida · #3

Ακολουθώντας τον συλλογισμό του Μιχάλη και για τις άλλες κορυφές, συμπεραίνουμε ότι το κέντρο των κύκλων

θα είναι το ορθόκεντρο του ABC

και επειδή $OE = 3\sin\beta$ θα είναι

$\displaystyle{ \begin{aligned} & \tan\beta = {EC \over BE} \rightarrow \tan^2\beta = {EC^2 \over BE^2} = {1- OE^2 \over (2+OE)^2} = {1- 9\sin^2\beta \over (2+3\sin\beta)^2} \rightarrow \cr & {\sin^2\beta \over 1 - \sin^2\beta} = {1- 9\sin^2\beta \over (2+3\sin\beta)^2} \cr \end{aligned} }$

θέτοντας $\sin\beta = x$ και λύνοντας την εξίσωση βρίσκω τρείς ρίζες

$\displaystyle{ \left\{ \begin{aligned} & x_1 = 0.24312 \cr & x_2 =-0.31231 \cr & x_3 =-1.09747 \cr \end{aligned} \right. }$

Το εμβαδόν τώρα του ABC

είναι
$\displaystyle{ \begin{aligned} (ABC) &= {1 \over 2} BE \cdot AC = {1 \over 2} BE \cdot (AE+CE) \cr & = {1 \over 2}(2+3\sin\beta)\left(3\sqrt{1-\sin^2\beta}+\sqrt{1-9\sin^2\beta}\right) \cr \end{aligned} }$

και το μέγιστο εμβαδόν προκύπτει από την πρώτη ρίζα και είναι
$\displaystyle{ (ABC)_{max} = 4.90482198456 }$

#4

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 08, 2021 8:00 pm
Έστω ομόκεντροι κύκλοι με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνες , , αντίστοιχα. Να βρεθεί το μέγιστο εμβαδόν τριγώνου του οποίου η κάθε κορυφή βρίσκεται και σε διαφορετικό κύκλο όπως φαίνεται στο σχήμα.

Άνευ λύσης.

Στα χνάρια του Μιχάλη.

Με τις συντεταγμένες του σχήματος είναι $\displaystyle 4 - {b^2} = {y^2} = 1 - {x^2}$ με $\displaystyle x > 0,b,y < 0.$

: Μέγιστο εμβαδόν σε ομόκεντρους.png (16.96 KiB) Προβλήθηκε 463 φορές

$\displaystyle (ABC) = \frac{1}{2}|\det (\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} )| = \frac{1}{2}|\left| {\begin{array}{*{20}{c}} b&{y - 3}\\ x&{y - 3} \end{array}} \right|| \Leftrightarrow$ $\boxed{(ABC) = \frac{1}{2}\left( {x + \sqrt {{x^2} + 3} } \right)\left( {3 + \sqrt {1 - {x^2}} } \right)}$

Το Wolfram|Alpha δίνει για $\boxed{x \simeq 0,87382}$ μέγιστο εμβαδόν $\boxed{{(ABC)_{\max }} \simeq 4,90482}$

Μέγιστο εμβαδόν σε ομόκεντρους κύκλους

Μέγιστο εμβαδόν σε ομόκεντρους κύκλους

Re: Μέγιστο εμβαδόν σε ομόκεντρους κύκλους

Re: Μέγιστο εμβαδόν σε ομόκεντρους κύκλους

Re: Μέγιστο εμβαδόν σε ομόκεντρους κύκλους

Μέλη σε σύνδεση