Συνεχής,1-1 και επί
Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος
Συνεχής,1-1 και επί
Η συνάρτηση είναι συνεχής, 1-1 και επί. Να βρεθεί το σύνολο
Φιλικά
Φιλικά
Σπύρος Καπελλίδης
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Συνεχής,1-1 και επί
Λοιπον, ως συνεχης και 1-1 η ειναι γνησιως μονοτονη και ετσι, αφου ειναι επι, . Υποθετουμε οτι ειναι αυξουσα (αλλιως θεωρουμε την ) οποτε .
Προφανως και (οι μονοι με ειναι ρητοι).
Εστω τυχαιος . Τοτε, το συνολο των ζευγων με ειναι υπεραριθμησιμο (για καθε υπαρχει το καταλληλο ). Αυτο το καταλληλο ειναι μοναδικο (λογω μονοτονιας) οποτε τα και ειναι αριθμησιμα. Κατα συνεπεια, υπαρχει ζευγος αρρητων με .
Αρα .
Δημητρης Σκουτερης
Προφανως και (οι μονοι με ειναι ρητοι).
Εστω τυχαιος . Τοτε, το συνολο των ζευγων με ειναι υπεραριθμησιμο (για καθε υπαρχει το καταλληλο ). Αυτο το καταλληλο ειναι μοναδικο (λογω μονοτονιας) οποτε τα και ειναι αριθμησιμα. Κατα συνεπεια, υπαρχει ζευγος αρρητων με .
Αρα .
Δημητρης Σκουτερης
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Re: Συνεχής,1-1 και επί
Η δική μου λύση:
Η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, αφού είναι 1-1 και συνεχής. Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε πως είναι γνησίως αύξουσα, γιατί σε αντίθετη περίπτωση δουλεύουμε με την . Τότε και , άρα . Εξ' άλλου είναι προφανές ότι άρα . Έστω . Τότε υπάρχει με . Ονομάζω το σύνολο των αρρήτων του διαστήματος . Έστω , τότε υπάρχει μοναδικό ώστε . Έστω ότι για κάθε . Θεωρούμε τη συνάρτηση με . Τότε . Άρα η είναι 1-1, συνεπώς το είναι υπεραριθμήσιμο, άτοπο, γιατί . Άρα για κάποιο το , άρα , οπότε προφανώς .
Φιλικά
Η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, αφού είναι 1-1 και συνεχής. Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε πως είναι γνησίως αύξουσα, γιατί σε αντίθετη περίπτωση δουλεύουμε με την . Τότε και , άρα . Εξ' άλλου είναι προφανές ότι άρα . Έστω . Τότε υπάρχει με . Ονομάζω το σύνολο των αρρήτων του διαστήματος . Έστω , τότε υπάρχει μοναδικό ώστε . Έστω ότι για κάθε . Θεωρούμε τη συνάρτηση με . Τότε . Άρα η είναι 1-1, συνεπώς το είναι υπεραριθμήσιμο, άτοπο, γιατί . Άρα για κάποιο το , άρα , οπότε προφανώς .
Φιλικά
Σπύρος Καπελλίδης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες