Συνεχής,1-1 και επί

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Συνεχής,1-1 και επί

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Τετ Μάιος 05, 2010 2:19 pm

Η συνάρτηση f:[0,1] \to [0,1] είναι συνεχής, 1-1 και επί. Να βρεθεί το σύνολο
\mathcal{A}= \{|f(x)-f(y)|/ x,y \in [0,1]- \mathbb{Q} \}
Φιλικά


Σπύρος Καπελλίδης

Λέξεις Κλειδιά:
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Συνεχής,1-1 και επί

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Παρ Μάιος 07, 2010 12:23 pm

Λοιπον, ως συνεχης και 1-1 η f ειναι γνησιως μονοτονη και ετσι, αφου ειναι επι, f \left( \{ 0,1 \} \right) = \{ 0,1 \}. Υποθετουμε οτι ειναι αυξουσα (αλλιως θεωρουμε την 1 - f) οποτε f(0) = 0, f(1) = 1.

Προφανως A \subseteq [0,1] και 1 \notin A (οι μονοι x,y με |f(x) - f(y)| = 1 ειναι ρητοι).

Εστω τυχαιος r \in [0,1). Τοτε, το συνολο S \subseteq [0,1] \times [0,1] των ζευγων (x,y) με |f(x) - f(y)| = r ειναι υπεραριθμησιμο (για καθε x \in \left[ 0, f^{-1} (1-r) \right] υπαρχει το καταλληλο y). Αυτο το καταλληλο y ειναι μοναδικο (λογω μονοτονιας) οποτε τα S \cap \left( \mathbb{Q} \times [0,1] \right) και S \cap \left( [0,1] \times \mathbb{Q} \right) ειναι αριθμησιμα. Κατα συνεπεια, υπαρχει ζευγος αρρητων (x,y) με |f(x) - f(y)| = r.

Αρα A = [0, 1).

Δημητρης Σκουτερης


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Συνεχής,1-1 και επί

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Παρ Μάιος 07, 2010 10:24 pm

Η δική μου λύση:
Η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, αφού είναι 1-1 και συνεχής. Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε πως είναι γνησίως αύξουσα, γιατί σε αντίθετη περίπτωση δουλεύουμε με την 1-f(x). Τότε f(0)=0 και f(1)=1, άρα 1 \notin \mathcal{A}. Εξ' άλλου είναι προφανές ότι 0 \in \mathcal{A} άρα \mathcal{A} \subset [0,1). Έστω a \in (0,1). Τότε υπάρχει b \in (0,1) με f(b)=a. Ονομάζω \mathcal{I} το σύνολο των αρρήτων του διαστήματος (b,1). Έστω x \in \mathcal{I}, τότε υπάρχει μοναδικό y_x \in (0,1) ώστε f(x)-f(y_x)=a. Έστω ότι για κάθε x\in \mathcal{I}, y_x \in \mathbb{Q}. Θεωρούμε τη συνάρτηση h:\mathcal{I} \to \mathbb{Q} με g(x)=y_x. Τότε g(x_1)=g(x_2) \Rightarrow y_{x_1}=y_{x_2} \Rightarrow f(y_{x_1})=f(y_{x_2}) \Rightarrow f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2. Άρα η g είναι 1-1, συνεπώς το g(\mathcal{I}) είναι υπεραριθμήσιμο, άτοπο, γιατί f(\mathcal{I}) \subset \mathbb{Q}. Άρα για κάποιο x \in \mathcal{I} το y_x \in [0,1]-\mathbb{Q}, άρα a \in \mathcal{A}, οπότε προφανώς \mathcal{A}=[0,1).
Φιλικά


Σπύρος Καπελλίδης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης