Ολοκλήρωμα 2

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
mick7
Δημοσιεύσεις: 576
Εγγραφή: Παρ Δεκ 25, 2015 4:49 am

Ολοκλήρωμα 2

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mick7 » Δευ Ιουν 07, 2021 3:40 pm

Να υπολογιστεί το

\displaystyle \int_{0}^{1} (ln(\frac{1}{x}))^{2022}dx



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13464
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκλήρωμα 2

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Ιουν 07, 2021 4:48 pm

mick7 έγραψε:
Δευ Ιουν 07, 2021 3:40 pm
Να υπολογιστεί το

\displaystyle \int_{0}^{1} (\ln (\frac{1}{x}))^{2022}dx
Αν \displaystyle{I_n= \int_{0}^{1}  \left ( \ln \left ( \frac{1}{x} \right ) \right )^{n}dx}, θέλουμε το I_{2022}. Με κατά παράγοντες έχουμε

\displaystyle{I_n=(-1)^n \int_{0}^{1} x' \left ( \ln   x \right )^{n} dx = (-1)^n \left [ x  \left  ( \ln  x  \right)^{n} \right ]_0^1 -(-1)^n n \int_{0}^{1} x  \left  (\ln   x \right )^{n-1}\cdot \dfrac {1}{x} dx  =}

\displaystyle{= (-1)^{n-1} n I _{n-1} }

Τώρα, από τον αναδρομικό τύπο το αποτέλεσμα είναι άμεσο. Εμφανίζει βέβαια ένα 2022! αλλά αφήνω τις λεπτομέρειες ως κοινοτυπία.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4653
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ολοκλήρωμα 2

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Ιουν 07, 2021 7:18 pm

Έστω n \in \mathbb{N} . Τότε ισχύει \displaystyle{\int_{0}^{1} \left ( \ln \frac{1}{x} \right )^n \, \mathrm{d} x = n!}. Έχουμε διαδοχικά:

\displaystyle{\begin{aligned} 
\int_{0}^{1} \left ( \ln \frac{1}{x} \right )^n \, \mathrm{d}x &= \int_{0}^{1} \left ( - \ln x \right )^n \, \mathrm{d}x \\  
 &\!\!\!\!\!\!\overset{u=-\ln x}{=\! =\! =\! =\! =\! =\!} \int_{0}^{\infty} u^{n} e^{-u} \, \mathrm{d}u  \\  
 &= \Gamma \left ( n+1 \right ) \\  
 &= n! 
\end{aligned}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης