mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιουν 03, 2021 7:23 pm**

Θα ήθελα μία βοήθεια σε αυτή την ΔΕ για το πως να την συνεχίσω από εκεί που έχω καταλήξει.
${y}''-2{y}'+2y=cost ,y(0)=1,{y}'(0)=0 ,L\left \{ {y}'' \right \}-2L\left \{ {y}' \right \}+2L\left \{ y \right \}=L\left \{ cost \right \} \Rightarrow s^{2}Y(s)-sy(0)-{y}'(0)-2(sY(s)-y(0))+2Y(s)=\frac{s}{s^{2}+1}\Rightarrow Y(s)=\frac{s^{3}-2s^{2}+2s-2}{s^{4}-2s^{3}+3s^{2}-2s+2}$ $

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιουν 03, 2021 7:52 pm**

Καλησπέρα. Βρίσκω ότι

$\dfrac{s^3-2\,s^2+2\,s-2}{s^4-2\,s^3+3\,s^2-2\,s+2}=\dfrac{s^3-2\,s^2+2\,s-2}{(s^2+1)\,((s-1)^2+1))}=\dfrac{1}{5}\,\dfrac{s-2}{s^2+1}+\dfrac{1}{5}\,\dfrac{4\,s-6}{(s-1)^2+1}$

ή ισοδύναμα το 2ο μέλος γίνεται

$\dfrac{1}{5}\,\dfrac{s}{s^2+1}-\dfrac{2}{5}\,\dfrac{1}{s^2+1}+\dfrac{1}{5}\,\dfrac{4\,s}{(s-1)^2+1}-\dfrac{1}{5}\,\dfrac{6}{(s-1)^2+1}$

και κάθε παράγοντας χωριστά έχει γνωστό αντίστροφο Laplace.

τσέκαρε λίγο τους συντελεστές, ίσως έκανα λάθος πράξεις. Η ιδέα για το "σπάσιμο" είναι αυτή που μένει.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιουν 03, 2021 11:04 pm**

BAGGP93 έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 03, 2021 7:52 pm
Καλησπέρα. Βρίσκω ότι

$\dfrac{s^3-2\,s^2+2\,s-2}{s^4-2\,s^3+3\,s^2-2\,s+2}=\dfrac{s^3-2\,s^2+2\,s-2}{(s^2+1)\,((s-1)^2+1))}=\dfrac{1}{5}\,\dfrac{s-2}{s^2+1}+\dfrac{1}{5}\,\dfrac{4\,s-6}{(s-1)^2+1}$

ή ισοδύναμα το 2ο μέλος γίνεται

$\dfrac{1}{5}\,\dfrac{s}{s^2+1}-\dfrac{2}{5}\,\dfrac{1}{s^2+1}+\dfrac{1}{5}\,\dfrac{4\,s}{(s-1)^2+1}-\dfrac{1}{5}\,\dfrac{6}{(s-1)^2+1}$

και κάθε παράγοντας χωριστά έχει γνωστό αντίστροφο Laplace.

τσέκαρε λίγο τους συντελεστές, ίσως έκανα λάθος πράξεις. Η ιδέα για το "σπάσιμο" είναι αυτή που μένει.

Σας ευχαριστώ πολύ για την απάντησή σας αλλά ο όρος $\frac{s}{\left ( s-1 \right )^{2}+1}$ έχει αντίστροφο Laplace;

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιουν 03, 2021 11:16 pm**

Ναι, γράψτο καλύτερα ως εξής

$\dfrac{s}{(s-1)^2+1}=\dfrac{s-1}{(s-1)^2+1}+\dfrac{1}{(s-1)^2+1}$

οπότε είσαι safe.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιουν 04, 2021 3:26 pm**

Βέβαια υπάρχει και δεύτερος τρόπος

Η γενική λύση της ομογενούς είναι η y_c(t)=e^t(c_1cost+c_2sint)

για την μερική λόγω της φύσης της μη ομογενούς θα είναι της μορφής $y_p(t)=\frac{1}{5}cost+\frac{2}{5}sint$

Άρα η γενική λύση θα είναι η $y=y_c+y_p=e^t(c_1cost+c_2sint)+\frac{1}{5}cost+\frac{2}{5}sint$

με τις αρχικές συνθήκες βρίσκουμε τελικά $y=e^t(\frac{4}{5}cost-\frac{6}{5}sint)+\frac{1}{5}cost+\frac{2}{5}sint$

Με κάθε επιφύλαξη στις πράξεις μου.

Μού φαίνεται ότι η επιλογή επίλυσης με μετασχηματισμό Laplace την κάνει σχετικά πιο δύσκολη, αλλά φαντάζομαι θα είναι σε πλαίσιο εξάσκησης.

mathematica.gr

Διαφορική Εξίσωση

Διαφορική Εξίσωση

Re: Διαφορική Εξίσωση

Re: Διαφορική Εξίσωση

Re: Διαφορική Εξίσωση

Re: Διαφορική Εξίσωση