Σειρά με διωνυμικό

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4653
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Σειρά με διωνυμικό

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Μάιος 25, 2021 12:57 pm

Να υπολογιστεί η σειρά:

\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mathcal{H}_n}{\binom{n+100}{100}}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8641
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Σειρά με διωνυμικό

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Μάιος 26, 2021 10:40 am

Για k > 1 έχουμε

\displaystyle  
\begin{aligned} 
\sum_{n=1}^{\infty}  \frac{H_n}{\binom{n+k}{k}} &= \sum_{n=1}^{\infty}  \frac{k!H_n}{(n+1) \cdots (n+k)} \\ 
&= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{k!H_n}{k-1} \left(\frac{1}{(n+1)\cdots (n+k-1)} - \frac{1}{(n+2) \cdots (n+k)} \right) \\ 
&= \frac{k!}{k-1}\sum_{n=1}^{\infty} \sum_{i=1}^n \frac{1}{i} \left(\frac{1}{(n+1)\cdots (n+k-1)} - \frac{1}{(n+2) \cdots (n+k)} \right) \\ 
&= \frac{k!}{k-1} \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i} \sum_{n=i}^{\infty} \left(\frac{1}{(n+1)\cdots (n+k-1)} - \frac{1}{(n+2) \cdots (n+k)} \right) \\ 
&= \frac{k!}{k-1} \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i(i+1) \cdots (i+k-1)} \\ 
&= \frac{k!}{(k-1)^2} \sum_{i=1}^{\infty} \left(\frac{1}{i(i+1) \cdots (i+k-2)} - \frac{1}{(i+1) \cdots (i+k-1)}\right) \\ 
&= \frac{k!}{(k-1)^2} \frac{1}{(k-1)!} = \frac{k}{(k-1)^2} 
\end{aligned}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης