U 549 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Σας προτείνω το θέμα U549 που δημοσιεύτηκε στο δεύτερο τεύχος των Mathematical Reflections του 2021. Η καταληκτική ημερομηνία αποστολής λύσεων ήταν η 15/5/2021 η οποία παρήλθε και έτσι μπορώ να μοιραστώ το θέμα μαζί σας. Θυμήθηκα τα φοιτητικά μου χρόνια...

Υπολογίστε τη $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\frac{4n-1}{n^{2}\left ( 2n-1 \right )^{2}}$

To θέμα προτάθηκε από τον Toyesh Prakash Sharma, St.C.F. Andrews School, Agra, India.

#2

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 16, 2021 7:39 am

Υπολογίστε τη $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\frac{4n-1}{n^{2}\left ( 2n-1 \right )^{2}}$

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\frac{4n-1}{n^{2}\left ( 2n-1 \right )^{2}} = 4\sum_{n=1}^{\infty }\left ( \frac{1}{\left ( 2n-1 \right )^{2} }- \frac{1}{4n^{2}} \right ) = 4 \sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{\left ( 2n-1 \right )^{2} }- \sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{2}}=$

$\displaystyle{= \dfrac {4\pi ^2}{8}-\dfrac {\pi ^2}{6} =\dfrac {\pi ^2}{3}}$

Τα δύο αθροίσματα που χρησιποποίησα, με $\pi ^2$ στην απάντηση, είναι γνωστά (παράγωγα της $\zeta (2)$ ).

Edit: Διόρθωση λογιστικού.

U 549 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

U 549 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

Re: U 549 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

Μέλη σε σύνδεση