- Να βρεθεί η εξίσωση της σφαίρας που έχει κέντρο επί του -άξονα και εφάπτεται της κατά μήκος της περιφέρειας .
-
Να βρεθεί ο όγκος του στερεού που περικλείεται από:
- το τμήμα της σφαίρας που βρίσκεται "πάνω" από την περιφέρεια ,
- το τμήμα της επιφάνειας που βρίσκεται "κάτω" από την περιφέρεια και
- το επίπεδο .
Όγκος στερεού 2
Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος
- grigkost
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 3049
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
- Τοποθεσία: Ιωάννινα
- Επικοινωνία:
Όγκος στερεού 2
Έστω η επιφάνεια εκ περιστροφής με παραμετρική παράσταση
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Όγκος στερεού 2
Γρηγόρη καλημέρα από Γρεβενά...grigkost έγραψε: ↑Δευ Απρ 26, 2021 7:23 pmΈστω η επιφάνεια εκ περιστροφής με παραμετρική παράσταση
- Να βρεθεί η εξίσωση της σφαίρας που έχει κέντρο επί του -άξονα και εφάπτεται της κατά μήκος της περιφέρειας .
- Να βρεθεί ο όγκος του στερεού που περικλείεται από:
- το τμήμα της σφαίρας που βρίσκεται "πάνω" από την περιφέρεια ,
- το τμήμα της επιφάνειας που βρίσκεται "κάτω" από την περιφέρεια και
- το επίπεδο .
Με τα όμορφα αλλά και έξυπνα θέματα που προτείνεις μου δίνεις
την ευκαιρία να απολαύσω τη γοητεία της ψηφιακής τεχνολογίας η οποία
μας αναπαριστά με πολύ ανάγλυφο τρόπο τον τρισδιάστατο χώρο...
Αρχικά ξεκινώ με την παράθεση μερικών σχημάτων που προέκυψαν:
Σχήμα 1ο
Δεν ξέρω σε τι αναγωγές οδηγεί το σχήμα αυτό τούτην την εποχή
που αρχίζει να ανεβαίνει η θερμοκρασία!
Σχήμα 2ο
Στο σχήμα αυτό βλέπουμε την καμπύλη του επιπέδου , το κέντρο και την ακτίνα του
κύκλου , το σημείο στο οποίο η καμπύλη αυτή συναντά τον κύκλο αυτό, καθώς και την
εφαπτομένη της καμπύλης αυτής η οποία θα δώσει και το κέντρο της ζητούμενης σφαίρας.
Σχήμα 3ο
Ένα στιγμιότυπο της εκ επιφάνειας αυτής και οι δύο κύκλοι...
Σχήμα 4ο
Προστέθηκε και η σφαίρα...
(Συνεχίζεται...)
Κώστας Δόρτσιος
Re: Όγκος στερεού 2
(Συνέχεια...)grigkost έγραψε: ↑Δευ Απρ 26, 2021 7:23 pmΈστω η επιφάνεια εκ περιστροφής με παραμετρική παράσταση
- Να βρεθεί η εξίσωση της σφαίρας που έχει κέντρο επί του -άξονα και εφάπτεται της κατά μήκος της περιφέρειας .
- Να βρεθεί ο όγκος του στερεού που περικλείεται από:
- το τμήμα της σφαίρας που βρίσκεται "πάνω" από την περιφέρεια ,
- το τμήμα της επιφάνειας που βρίσκεται "κάτω" από την περιφέρεια και
- το επίπεδο .
Για το ερώτημα (ii), ας δούμε τα δύο σχήματα:
1ο Σχήμα:
Ζητούμε τον όγκο του στερεού αυτού.
Για να αντιληφθούμε τη μορφή του στερεού αυτού ας δούμε το
δεύτερο σχήμα:
2ο Σχήμα
Έτσι το στερεό αυτό αποτελείται από δύο στερεά:
1ο) το σφαιρικό τμήμα με μια βάση, τον επάνω κύκλο
και
2ο) το στερεό εκ περιστροφής που περιβάλλεται από τους δύο κύκλους που βλέπουμε.
(Συνεχίζεται...)
Κώστας Δόρτσιος
- grigkost
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 3049
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
- Τοποθεσία: Ιωάννινα
- Επικοινωνία:
Re: Όγκος στερεού 2
Δίνουμε μια λύση της άσκησης:
i. Ένα κάθετο διάνυσμα της επιφάνειας στο σημείο - σημείο που βρίσκεται και επί της περιφέρειας - είναι το
Επομένως η ευθεία διέρχεται από το κέντρο της ζητούμενης σφαίρας . Επειδή το κέντρο της σφαίρας βρίσκεται επί του -άξονα, πρέπει
Επομένως το κέντρο είναι το σημείο .
Η ακτίνα της ζητούμενης σφαίρας ισούται με
Τελικά η εξίσωση της σφαίρας είναι
ii. Το στερεό περικλείεται από την επιφάνεια -που παράγεται από την περιστροφή της καμπύλης περί τον -άξονα- και το επίπεδο . Το τμήμα έχει παραμετρική παράσταση
Για το τμήμα , αρκεί να προσδιοριστεί η γωνία . Από το ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε ότι και, επομένως, μια παραμετρική παράσταση του τμήματος είναι
Ο όγκος του στερεού που "παράγεται" από την περιστροφή της ισούται με
Ο όγκος του στερεού που "παράγεται" από την περιστροφή της ισούται με
Άρα
i. Ένα κάθετο διάνυσμα της επιφάνειας στο σημείο - σημείο που βρίσκεται και επί της περιφέρειας - είναι το
Επομένως η ευθεία διέρχεται από το κέντρο της ζητούμενης σφαίρας . Επειδή το κέντρο της σφαίρας βρίσκεται επί του -άξονα, πρέπει
Επομένως το κέντρο είναι το σημείο .
Η ακτίνα της ζητούμενης σφαίρας ισούται με
Τελικά η εξίσωση της σφαίρας είναι
ii. Το στερεό περικλείεται από την επιφάνεια -που παράγεται από την περιστροφή της καμπύλης περί τον -άξονα- και το επίπεδο . Το τμήμα έχει παραμετρική παράσταση
Για το τμήμα , αρκεί να προσδιοριστεί η γωνία . Από το ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε ότι και, επομένως, μια παραμετρική παράσταση του τμήματος είναι
Ο όγκος του στερεού που "παράγεται" από την περιστροφή της ισούται με
Ο όγκος του στερεού που "παράγεται" από την περιστροφή της ισούται με
Άρα
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 26 επισκέπτες