Χρησιμοποιούμε το ολοκληρωτικό κριτήριο σύγκλισης:erxmer έγραψε:66) Ας υπολογιστεί το
Αν η είναι γνησίως φθίνουσα όπου ακέραιος, τότε για κάθε .
Έστω σταθερό μεγάλο.
Εκτιμούμε αρχικά το δεύτερο άθροισμα για σταθερό. Η είναι γνησίως φθίνουσα στο , άρα για στο κριτήριο παίρνουμε
.
Αθροίζουμε τις ανισότητες για και παίρνουμε
.
Εφαρμόζουμε μια φορά ακόμα το κριτήριο για τις συναρτήσεις
, στο για να πάρουμε το δεξί φράγμα και για τη συνάρτηση
στο ίδιο διάστημα για το αριστερό φράγμα, πολλαπλασιάζουμε με , παίρνουμε όρια και από παρεμβολή .
Το παραπάνω κριτήριο είναι πάρα πολύ χρήσιμο γιατί μπορούμε να περνάμε από άθροισμα σε ολοκλήρωμα που έχουμε μεγαλύτερη ελευθερία κινήσεων. Αν πχ κάπου σε μια παράσταση που ψάχνουμε όριο παρουσιάζεται μια σειρά που αποκλίνει, από το κριτήριο ξέρουμε ότι , και το ολοκλήρωμα μπορεί ενδεχομένως να υπολογίζεται ή να μπορούμε ευκολότερα να εκτιμήσουμε τη συμπεριφορά του με ολοκλήρωση κατά μέρη ή άλλους τρόπους. Αυτά...