Υπερβολικό ολοκλήρωμα

Tolaso J Kos · #1

Έστω $a \in \mathbb{R}$ . Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\int_{0}^{\infty} \ln \left ( 1 + \frac{\cosh a}{\cosh x} \right )\, \mathrm{d}x = \frac{\pi^2}{8}+ \frac{a^2}{2}}$

Tolaso J Kos · #2

Είναι:

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{0}^{\infty} \ln \left ( 1 + \frac{\cosh a}{\cosh x} \right )\, \mathrm{d}x &= \int_{0}^{\cosh a} \int_{0}^{\infty} \frac{\mathrm{sech}x}{1 + y \mathrm{sech}x}\, \mathrm{d}(x, y) \\ &=\int_{0}^{1}\int_{0}^{\infty} \frac{\mathrm{sech}x}{1 + y \mathrm{sech}x}\, \mathrm{d}(x, y) + \int_{1}^{\cosh a} \int_{0}^{\infty} \frac{\mathrm{sech}x}{1 + y \mathrm{sech}x}\, \mathrm{d}(x, y) \end{aligned}}$
Για τα δύο ολοκληρώματα που απομένουν έχουμε διαδοχικά:

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{0}^{1}\int_{0}^{\infty} \frac{\mathrm{sech}x}{1 + y \mathrm{sech}x}\, \mathrm{d}(x, y) & \overset{t = \tanh \frac{x}{2}}{=\! =\! =\! =\! =\! =\! =\!} 2 \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d}(t, y)}{1+y+ \left ( 1-y \right )t^2} \\ &= 2 \int_{0}^{1} \frac{\arctan \sqrt{\frac{1-y}{1+y}}}{\sqrt{1-y^2}} \, \mathrm{d}t \\ &\!\!\!\!\!\overset{y = \cos \theta}{=\! =\! =\! =\! =\!} 2 \int_{0}^{\pi/2} \arctan \tan \frac{\theta}{2} \, \mathrm{d} \theta \\ &= \int_{0}^{\pi/2} \theta \, \mathrm{d} \theta \\ &= \frac{\pi^2}{8} \end{aligned}}$
και

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{1}^{\cosh a} \int_{0}^{\infty} \frac{\mathrm{sech}x}{1 + y \mathrm{sech}x}\, \mathrm{d}(x, y) &= 2 \int_{1}^{\cosh a} \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d} (t, y)}{1 + y - (y-1) t^2} \\ &=2 \int_{1}^{\cosh a} \frac{\mathrm{arctanh} \sqrt{\frac{y-1}{y+1}}}{\sqrt{y^2-1}}\, \mathrm{d}y \\ &\!\!\!\!\!\!\overset{y = \cosh z}{=\! =\! =\! =\! =\! =\! } 2 \int_{0}^{a} \mathrm{arctanh} \tanh \frac{z}{2} \, \mathrm{d}z \\ &= \int_{0}^{a} z \, \mathrm{d}z \\ &= \frac{a^2}{2} \end{aligned}}$
Το αποτέλεσμα έπεται.

Υπερβολικό ολοκλήρωμα

Υπερβολικό ολοκλήρωμα

Re: Υπερβολικό ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση