Όριο ακολουθίας

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4579
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Όριο ακολουθίας

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Απρ 20, 2021 9:05 pm

Έστω f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} συνάρτηση τέτοια ώστε f(0)=0 και παραγωγίσιμη στο 0. Θέτουμε

\displaystyle a_n =\sum_{k=1}^{n} f \left( \frac{k}{n^2} \right) Να υπολογιστεί το όριο \displaystyle{\ell = \lim \limits_{n \rightarrow +\infty} a_n}.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13328
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Όριο ακολουθίας

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Απρ 20, 2021 9:45 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τρί Απρ 20, 2021 9:05 pm
Έστω f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} συνάρτηση τέτοια ώστε f(0)=0 και παραγωγίσιμη στο 0. Θέτουμε

\displaystyle a_n =\sum_{k=1}^{n} f \left( \frac{k}{n^2} \right) Να υπολογιστεί το όριο \displaystyle{\ell = \lim \limits_{n \rightarrow +\infty} a_n}.
Απάντηση: \frac {1}{2} f'(0)

Για \epsilon >0 υπάρχει εξ ορισμού \delta >0 τέτοιο ώστε για |x| <\delta είναι f'(0) - \epsilon < \dfrac {f(x)-f(0)}{x-0} < f'(0) + \epsilon .

Οπότε για n με \frac {1}{n} < \delta και για 1\le k \le n έχουμε

f'(0) - \epsilon < \dfrac {f \left( \frac{k}{n^2} \right)-0}{\frac{k}{n^2} -0} < f'(0) + \epsilon και άρα

\left (f'(0) - \epsilon \right )    \dfrac {k}{n^2}< f \left( \frac{k}{n^2} \right )  < \left (f'(0) + \epsilon \right )    \dfrac {k}{n^2}

Προσθέτουμε κατά μέλη για k=1 έως n, οπότε

\left (f'(0) - \epsilon \right )    \dfrac {n(n+1)}{2n^2}< a_n < \left (f'(0) + \epsilon \right )    \dfrac {n(n+1)}{2n^2}

Παίρνοντας όριο καταλήγουμε ότι το ζητούμενο όριο υπάρχει, έστω L , και ικανοποιεί  \dfrac {1}{2} \left (f'(0) - \epsilon \right )  \le L \le  \dfrac {1}{2} \left (f'(0) + \epsilon \right )     . Και λοιπά.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες