Όριο

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4579
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Όριο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Απρ 19, 2021 4:28 pm

Έστω g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} συνεχής συνάρτηση τέτοια ώστε g(x)\geq 0 για κάθε x \in \mathbb{R} , g(x)=0 αν |x| \geq 1 και \displaystyle{\int_{-\infty}^\infty g(t) \,\mathrm{d}t=1}. Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}. Να υπολογιστεί το όριο

\displaystyle{\ell = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{1}{h} \int_{-\infty}^\infty g \left( \frac{x}{h} \right) f(x)\, \mathrm{d}x}
Άνευ λύσης!
Η απάντηση που δίδεται είναι f(0).


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13328
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Όριο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Απρ 19, 2021 6:42 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Δευ Απρ 19, 2021 4:28 pm
Έστω g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} συνεχής συνάρτηση τέτοια ώστε g(x)\geq 0 για κάθε x \in \mathbb{R} , g(x)=0 αν |x| \geq 1 και \displaystyle{\int_{-\infty}^\infty g(t) \,\mathrm{d}t=1}. Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}. Να υπολογιστεί το όριο

\displaystyle{\ell = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{1}{h} \int_{-\infty}^\infty g \left( \frac{x}{h} \right) f(x)\, \mathrm{d}x}
Άνευ λύσης!
Επειδή η άσκηση είναι πολύ γνωστό Θεώρημα που υπάρχει σε όλα τα βιβλία Μαθηματικών Μεθόδων Φυσικής, και όχι μόνο, θα δώσω μόνο υπόδειξη. Το Θεώρημα που αναφέρομαι είναι σε αρκετά γενικότερο πλαίσιο. Βάλε στο Google την φράση "Dirac Delta Function" για να δεις άπειρο υλικό.

Υπόδειξη:

Έχουμε

\frac{1}{h} \int_{-\infty}^\infty g \left( \frac{x}{h} \right) f(x)\, dx = \frac{1}{h} \int_{-h}^h g \left( \frac{x}{h} \right) f(x)\, dx  = \int_{-1}^1 g \left( y \right) f(hy)\, dy=

\int_{-1}^1 g \left( y \right) (f(hy)-f(0) \, dy   + \int_{-1}^1 g \left( y \right) f(0) \, dy = \int_{-1}^1 g \left( y \right) (f(hy)-f(0) )\, dy   + f(0) και λοιπά.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες