Σελίδα 1 από 1

Όριο

Δημοσιεύτηκε: Δευ Απρ 19, 2021 4:28 pm
από Tolaso J Kos
Έστω g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} συνεχής συνάρτηση τέτοια ώστε g(x)\geq 0 για κάθε x \in \mathbb{R} , g(x)=0 αν |x| \geq 1 και \displaystyle{\int_{-\infty}^\infty g(t) \,\mathrm{d}t=1}. Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}. Να υπολογιστεί το όριο

\displaystyle{\ell = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{1}{h} \int_{-\infty}^\infty g \left( \frac{x}{h} \right) f(x)\, \mathrm{d}x}
Άνευ λύσης!
Η απάντηση που δίδεται είναι f(0).

Re: Όριο

Δημοσιεύτηκε: Δευ Απρ 19, 2021 6:42 pm
από Mihalis_Lambrou
Tolaso J Kos έγραψε:
Δευ Απρ 19, 2021 4:28 pm
Έστω g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} συνεχής συνάρτηση τέτοια ώστε g(x)\geq 0 για κάθε x \in \mathbb{R} , g(x)=0 αν |x| \geq 1 και \displaystyle{\int_{-\infty}^\infty g(t) \,\mathrm{d}t=1}. Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}. Να υπολογιστεί το όριο

\displaystyle{\ell = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{1}{h} \int_{-\infty}^\infty g \left( \frac{x}{h} \right) f(x)\, \mathrm{d}x}
Άνευ λύσης!
Επειδή η άσκηση είναι πολύ γνωστό Θεώρημα που υπάρχει σε όλα τα βιβλία Μαθηματικών Μεθόδων Φυσικής, και όχι μόνο, θα δώσω μόνο υπόδειξη. Το Θεώρημα που αναφέρομαι είναι σε αρκετά γενικότερο πλαίσιο. Βάλε στο Google την φράση "Dirac Delta Function" για να δεις άπειρο υλικό.

Υπόδειξη:

Έχουμε

\frac{1}{h} \int_{-\infty}^\infty g \left( \frac{x}{h} \right) f(x)\, dx = \frac{1}{h} \int_{-h}^h g \left( \frac{x}{h} \right) f(x)\, dx  = \int_{-1}^1 g \left( y \right) f(hy)\, dy=

\int_{-1}^1 g \left( y \right) (f(hy)-f(0) \, dy   + \int_{-1}^1 g \left( y \right) f(0) \, dy = \int_{-1}^1 g \left( y \right) (f(hy)-f(0) )\, dy   + f(0) και λοιπά.