Χάσαμε τη συνέχεια...

ksofsa · #1

Καλημέρα σε όλους!

Να δοθεί παράδειγμα συνάρτησης $f:R^2\rightarrow R$ , η οποία είναι συνεχής στην αρχή των αξόνων , θεωρούμενη ως συνάρτηση καθεμίας από τις 2 μεταβλητές ξεχωριστά, αλλά, παρ' όλ' αυτά, ασυνεχής , αν θεωρηθεί ως συνάρτηση και των 2 μεταβλητών.

Σχόλιο: Δεν είναι δύσκολο. Ενδεχομένως να είναι κλασικό ή τετριμμένο. Είναι όμως διδακτικό για την κατανόηση της έννοιας της συνέχειας σε συναρτήσεις περισσότερων της μιας μεταβλητών.

Tolaso J Kos · #2

Κάτι τέτοιο θαρρώ κάνει:

$\displaystyle{f(x, y) = \left\{\begin{matrix} \dfrac{xy}{x^2+y^2} & , & \left ( x, y \right ) \neq (0, 0) \\\\ 0 & , & (x, y) = (0, 0) \end{matrix}\right.}$

ksofsa · #3

Πολύ ωραία!

Ακριβώς το ίδιο παράδειγμα είχα υπόψην.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Θα μπορούσαμε να φτιάξουμε συνάρτηση που να είναι συνεχής στο (0,0)

αν την περιορίσουμε σε
οποιαδήποτε ευθεία που περνάει από το (0,0)

αλλά να μην είναι συνεχής σε αυτό.

ksofsa · #5

Καλό βράδυ σε όλους!

Μια προσπάθεια για το θέμα του κυρίου Σταύρου.

Θεωρώ τη συνάρτηση:

f(x,y)=0,

, αν

και

$f(x,y)=xy^2e^{\frac{y}{x}}$ , αν $x\neq 0$

Αν περιοριστούμε στην ευθεία x=0

,η συνάρτηση είναι προφανώς συνεχής.

Αν περιοριστούμε σε οποιαδήποτε ευθεία με συντελεστή διεύθυνσης

, τότε η συνάρτηση είναι συνεχής, αφού

$\lim_{x\rightarrow 0}f(x,ax)=\lim_{x\rightarrow 0}a^2x^3e^a=0=f(0,0)$ .

Αν , όμως, θεωρήσουμε ότι x=y^2

, τότε $\lim_{x\rightarrow 0}f(x^2,x)=\lim_{x\rightarrow0}x^4e^{\frac{1}{x}}=+\infty$ , εφ' όσον θεωρήσουμε ότι το

προσεγγίζει το

εκ των άνω και αφού εφαρμόσουμε διαδοχικά τον κανόνα DLH.

Δηλαδή , η

δεν είναι συνεχής στην αρχή των αξόνων.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

ksofsa έγραψε: ↑
Δευ Απρ 05, 2021 11:58 pm
Καλό βράδυ σε όλους!

Μια προσπάθεια για το θέμα του κυρίου Σταύρου.

Θεωρώ τη συνάρτηση:

, αν

και

$f(x,y)=xy^2e^{\frac{y}{x}}$ , αν $x\neq 0$

Αν περιοριστούμε στην ευθεία ,η συνάρτηση είναι προφανώς συνεχής.

Αν περιοριστούμε σε οποιαδήποτε ευθεία με συντελεστή διεύθυνσης , τότε η συνάρτηση είναι συνεχής, αφού

$\lim_{x\rightarrow 0}f(x,ax)=\lim_{x\rightarrow 0}a^2x^3e^a=0=f(0,0)$ .

Αν , όμως, θεωρήσουμε ότι , τότε $\lim_{x\rightarrow 0}f(x^2,x)=\lim_{x\rightarrow0}x^4e^{\frac{1}{x}}=+\infty$ , εφ' όσον θεωρήσουμε ότι το προσεγγίζει το εκ των άνω και αφού εφαρμόσουμε διαδοχικά τον κανόνα DLH.

Δηλαδή , η δεν είναι συνεχής στην αρχή των αξόνων.

Σωστά.
Πιο απλό παράδειγμα είναι

f(x,y)=1if x>0,x=y^2

αλλού.

Και οι δύο συναρτήσεις κάνουν αλλά είναι ασυνεχείς και σε άλλα σημεία εκτός του (0,0)

.

Να δούμε αν υπάρχει $f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}$
συνεχής εκτός του (0,0)

η οποία είναι συνεχής στο (0,0)

αν την περιορίσουμε πάνω σε μια ευθεία
που περνάει από αυτό.

ksofsa · #7

Καλησπέρα!

Για το ερώτημα του κυρίου Σταύρου:

Θεωρώ τη συνάρτηση:

$f(x,y)=\dfrac{x}{y}sin\dfrac{y}{x}$ , αν $x\neq 0,y\neq 0$ .

f(x,y)=0

, αν $x=0,y\neq 0$

f(x,y)=1,

αν $x\neq 0,y=0$

f(x,y)=sin1

, αν

Για $x\neq 0,y\neq 0$ , η συνάρτηση είναι συνεχής.

Για $x=0,y\neq 0$ , η συνάρτηση είναι συνεχής, αφού

$\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{x}{y}sin\dfrac{y}{x}=0$ , όπως προκύπτει από το κριτήριο παρεμβολής.

Για $x\neq 0,y=0$ , η συνάρτηση είναι συνεχής , αφού

$\lim_{y\rightarrow 0}\dfrac{x}{y}sin\dfrac{y}{x}=\lim_{y\rightarrow 0}\frac{sin\dfrac{y}{x}}{\dfrac{y}{x}}=1$ .

Για x=0,y=0

, η συνάρτηση δεν είναι συνεχής, αφού

$\lim_{x\rightarrow 0}f(x,x^2)=\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{sinx}{x}=1$ .

Όμως, αν περιοριστούμε στην ευθεία y=x

,τότε $\lim_{x\rightarrow 0}f(x,x)=\lim_{x\rightarrow 0}sin1=sin1$ .

Άρα, η ευθεία y=x

είναι η ευθεία που ζητείται στην εκφώνηση.

Χάσαμε τη συνέχεια...

Χάσαμε τη συνέχεια...

Re: Χάσαμε τη συνέχεια...

Re: Χάσαμε τη συνέχεια...

Re: Χάσαμε τη συνέχεια...

Re: Χάσαμε τη συνέχεια...

Re: Χάσαμε τη συνέχεια...

Re: Χάσαμε τη συνέχεια...

Μέλη σε σύνδεση