Χάσαμε τη συνέχεια...

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

ksofsa
Δημοσιεύσεις: 237
Εγγραφή: Κυρ Απρ 18, 2010 9:42 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Χάσαμε τη συνέχεια...

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ksofsa » Δευ Απρ 05, 2021 9:46 am

Καλημέρα σε όλους!

Να δοθεί παράδειγμα συνάρτησης f:R^2\rightarrow R, η οποία είναι συνεχής στην αρχή των αξόνων , θεωρούμενη ως συνάρτηση καθεμίας από τις 2 μεταβλητές ξεχωριστά, αλλά, παρ' όλ' αυτά, ασυνεχής , αν θεωρηθεί ως συνάρτηση και των 2 μεταβλητών.

Σχόλιο: Δεν είναι δύσκολο. Ενδεχομένως να είναι κλασικό ή τετριμμένο. Είναι όμως διδακτικό για την κατανόηση της έννοιας της συνέχειας σε συναρτήσεις περισσότερων της μιας μεταβλητών.


Κώστας Σφακιανάκης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4561
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Χάσαμε τη συνέχεια...

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Απρ 05, 2021 11:01 am

Κάτι τέτοιο θαρρώ κάνει:

\displaystyle{f(x, y) = \left\{\begin{matrix} 
\dfrac{xy}{x^2+y^2} & , & \left ( x, y \right ) \neq (0, 0) \\\\  
0 & , &  (x, y) = (0, 0) 
\end{matrix}\right.}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
ksofsa
Δημοσιεύσεις: 237
Εγγραφή: Κυρ Απρ 18, 2010 9:42 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Χάσαμε τη συνέχεια...

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ksofsa » Δευ Απρ 05, 2021 11:08 am

Πολύ ωραία!

Ακριβώς το ίδιο παράδειγμα είχα υπόψην.


Κώστας Σφακιανάκης
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3343
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Χάσαμε τη συνέχεια...

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Απρ 05, 2021 12:06 pm

Θα μπορούσαμε να φτιάξουμε συνάρτηση που να είναι συνεχής στο (0,0) αν την περιορίσουμε σε
οποιαδήποτε ευθεία που περνάει από το (0,0)
αλλά να μην είναι συνεχής σε αυτό.


ksofsa
Δημοσιεύσεις: 237
Εγγραφή: Κυρ Απρ 18, 2010 9:42 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Χάσαμε τη συνέχεια...

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ksofsa » Δευ Απρ 05, 2021 11:58 pm

Καλό βράδυ σε όλους!

Μια προσπάθεια για το θέμα του κυρίου Σταύρου.

Θεωρώ τη συνάρτηση:

f(x,y)=0,, αν x=0

και

f(x,y)=xy^2e^{\frac{y}{x}}, αν x\neq 0

Αν περιοριστούμε στην ευθεία x=0,η συνάρτηση είναι προφανώς συνεχής.

Αν περιοριστούμε σε οποιαδήποτε ευθεία με συντελεστή διεύθυνσης a, τότε η συνάρτηση είναι συνεχής, αφού

\lim_{x\rightarrow 0}f(x,ax)=\lim_{x\rightarrow 0}a^2x^3e^a=0=f(0,0).

Αν , όμως, θεωρήσουμε ότι x=y^2, τότε \lim_{x\rightarrow 0}f(x^2,x)=\lim_{x\rightarrow0}x^4e^{\frac{1}{x}}=+\infty, εφ' όσον θεωρήσουμε ότι το x προσεγγίζει το 0 εκ των άνω και αφού εφαρμόσουμε διαδοχικά τον κανόνα DLH.

Δηλαδή , η f δεν είναι συνεχής στην αρχή των αξόνων.


Κώστας Σφακιανάκης
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3343
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Χάσαμε τη συνέχεια...

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Απρ 06, 2021 10:09 am

ksofsa έγραψε:
Δευ Απρ 05, 2021 11:58 pm
Καλό βράδυ σε όλους!

Μια προσπάθεια για το θέμα του κυρίου Σταύρου.

Θεωρώ τη συνάρτηση:

f(x,y)=0,, αν x=0

και

f(x,y)=xy^2e^{\frac{y}{x}}, αν x\neq 0

Αν περιοριστούμε στην ευθεία x=0,η συνάρτηση είναι προφανώς συνεχής.

Αν περιοριστούμε σε οποιαδήποτε ευθεία με συντελεστή διεύθυνσης a, τότε η συνάρτηση είναι συνεχής, αφού

\lim_{x\rightarrow 0}f(x,ax)=\lim_{x\rightarrow 0}a^2x^3e^a=0=f(0,0).

Αν , όμως, θεωρήσουμε ότι x=y^2, τότε \lim_{x\rightarrow 0}f(x^2,x)=\lim_{x\rightarrow0}x^4e^{\frac{1}{x}}=+\infty, εφ' όσον θεωρήσουμε ότι το x προσεγγίζει το 0 εκ των άνω και αφού εφαρμόσουμε διαδοχικά τον κανόνα DLH.

Δηλαδή , η f δεν είναι συνεχής στην αρχή των αξόνων.
Σωστά.
Πιο απλό παράδειγμα είναι

f(x,y)=1if x>0,x=y^2

f(x,y)=0 αλλού.

Και οι δύο συναρτήσεις κάνουν αλλά είναι ασυνεχείς και σε άλλα σημεία εκτός του (0,0).

Να δούμε αν υπάρχει f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}
συνεχής εκτός του (0,0) η οποία είναι συνεχής στο (0,0) αν την περιορίσουμε πάνω σε μια ευθεία
που περνάει από αυτό.


ksofsa
Δημοσιεύσεις: 237
Εγγραφή: Κυρ Απρ 18, 2010 9:42 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Χάσαμε τη συνέχεια...

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ksofsa » Τρί Απρ 06, 2021 10:02 pm

Καλησπέρα!

Για το ερώτημα του κυρίου Σταύρου:

Θεωρώ τη συνάρτηση:

f(x,y)=\dfrac{x}{y}sin\dfrac{y}{x}, αν x\neq 0,y\neq 0.

f(x,y)=0, αν x=0,y\neq 0

f(x,y)=1, αν x\neq 0,y=0

f(x,y)=sin1, αν x=0,y=0

Για x\neq 0,y\neq 0, η συνάρτηση είναι συνεχής.

Για x=0,y\neq 0, η συνάρτηση είναι συνεχής, αφού

\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{x}{y}sin\dfrac{y}{x}=0, όπως προκύπτει από το κριτήριο παρεμβολής.

Για x\neq 0,y=0, η συνάρτηση είναι συνεχής , αφού

\lim_{y\rightarrow 0}\dfrac{x}{y}sin\dfrac{y}{x}=\lim_{y\rightarrow 0}\frac{sin\dfrac{y}{x}}{\dfrac{y}{x}}=1.

Για x=0,y=0, η συνάρτηση δεν είναι συνεχής, αφού

\lim_{x\rightarrow 0}f(x,x^2)=\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{sinx}{x}=1.

Όμως, αν περιοριστούμε στην ευθεία y=x,τότε \lim_{x\rightarrow 0}f(x,x)=\lim_{x\rightarrow 0}sin1=sin1.

Άρα, η ευθεία y=x είναι η ευθεία που ζητείται στην εκφώνηση.


Κώστας Σφακιανάκης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες