- Να υπολογισθεί το εμβαδόν της επιφάνειας .
- Να υπολογισθεί ο όγκος του στερεού που περικλείεται από την επιφάνεια .
- Αν είναι η επιφάνεια που προκύπτει από την περιστροφή της παραμετρικής καμπύλης , γύρω από τον -άξονα και το στερεό που περικλείεται από την επιφάνεια και τα επίπεδα και , να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα .
Εμβαδόν, όγκος & τριπλό ολοκλήρωμα
Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος
- grigkost
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 3053
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
- Τοποθεσία: Ιωάννινα
- Επικοινωνία:
Εμβαδόν, όγκος & τριπλό ολοκλήρωμα
Στον περιστρέφουμε την παραμετρική καμπύλη , γύρω από τον -άξονα και έτσι παράγεται μια επιφάνεια .
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Εμβαδόν, όγκος & τριπλό ολοκλήρωμα
Γρηγόρη καλημέρα από τα ηλιόλουστα Γρεβενά...grigkost έγραψε: ↑Πέμ Μαρ 25, 2021 2:34 pmΣτον περιστρέφουμε την παραμετρική καμπύλη , γύρω από τον -άξονα και έτσι παράγεται μια επιφάνεια .
- Να υπολογισθεί το εμβαδόν της επιφάνειας .
- Να υπολογισθεί ο όγκος του στερεού που περικλείεται από την επιφάνεια .
- Αν είναι η επιφάνεια που προκύπτει από την περιστροφή της παραμετρικής καμπύλης , γύρω από τον -άξονα και το στερεό που περικλείεται από την επιφάνεια και τα επίπεδα και , να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα .
Κατ' αρχήν σχεδιάζουμε την παραμετρική αυτή καμπύλη.
Έτσι έχουμε το ακόλουθο σχήμα:
Η παραμετρική αυτή καμπύλη ορίζεται, σύμφωνα με την εκφώνηση, από τη σχέση:
ή αλλιώς:
Από την εξίσωση αυτή της καμπύλης μπορούμε να βρούμε την παραμετρική εξίσωση της επιφάνειας εκείνης
η οποία δημιουργείται από την περιστροφή αυτής κατά τον άξονα των κατά γωνία ίση με .
Αυτό γίνεται αν πολλαπλασιάσουμε την μορφή του διανύσματος - στήλη της (2) με τον πίνακα στροφής
περί τον άξονα των τετμημένων ο οποίος είναι:
Έτσι το γινόμενο:
είναι η εξίσωση της ζητούμενης επιφάνειας η οποία φαίνεται στα κατωτέρω σχήματα:
Το σχήμα αυτό αντιστοιχεί για κάποια γωνία μικρότερη των .
Το σχήμα αυτό εμφανίζει την επιφάνεια αυτή για γωνία ίση με .
(Συνεχίζεται...)
Κώστας Δόρτσιος
Re: Εμβαδόν, όγκος & τριπλό ολοκλήρωμα
(Συνέχεια...)grigkost έγραψε: ↑Πέμ Μαρ 25, 2021 2:34 pmΣτον περιστρέφουμε την παραμετρική καμπύλη , γύρω από τον -άξονα και έτσι παράγεται μια επιφάνεια .
- Να υπολογισθεί το εμβαδόν της επιφάνειας .
- Να υπολογισθεί ο όγκος του στερεού που περικλείεται από την επιφάνεια .
- Αν είναι η επιφάνεια που προκύπτει από την περιστροφή της παραμετρικής καμπύλης , γύρω από τον -άξονα και το στερεό που περικλείεται από την επιφάνεια και τα επίπεδα και , να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα .
Επιστρέφουμε πάλι στη δοθείσα καμπύλη που έχει εξίσωση:
και έχει την ακόλουθη μορφή:
Το εμβαδόν της παραγόμενης επιφάνειας από την περιστροφή αυτής γύρω από τον άξονα κατά γωνία
ίση με δίνεται από τον τύπο:
Η σχέση (2) λόγω της (1) και μετά πράξεις καταλήγει:
κι ακόμα:
Σημείωση:
Η διόρθωση του "ημαρτημένου τύπου" έγινε ύστερα από προσωπικό μήνυμα του φίλου μου
Γρηγόρη Κωστάκου τον οποίο και ευχαριστώ.
Κι ακόμα:
Η διόρθωση του τύπου έδωσε απλούστερο ολοκλήρωμα το οποίο και υπολόγισα χωρίς
τη χρήση του λογισμικού.
(Συνεχίζεται...)
Κώστας Δόρτσιος
Re: Εμβαδόν, όγκος & τριπλό ολοκλήρωμα
(Συνέχεια...)grigkost έγραψε: ↑Πέμ Μαρ 25, 2021 2:34 pmΣτον περιστρέφουμε την παραμετρική καμπύλη , γύρω από τον -άξονα και έτσι παράγεται μια επιφάνεια .
- Να υπολογισθεί το εμβαδόν της επιφάνειας .
- Να υπολογισθεί ο όγκος του στερεού που περικλείεται από την επιφάνεια .
- Αν είναι η επιφάνεια που προκύπτει από την περιστροφή της παραμετρικής καμπύλης , γύρω από τον -άξονα και το στερεό που περικλείεται από την επιφάνεια και τα επίπεδα και , να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα .
ii) Υπολογισμός όγκου του στερεού που περικλείεται από την επιφάνεια .
Το εν λόγω σχήμα είναι το ακόλουθο, όπως αναφέρθηκε και σε προηγούμενη ανάρτηση:
Το στερεό αυτό είναι ένα στερεό εκ περιστροφής γύρω από τον άξονα κατά γωνία ίση με
της, επίπεδης στο επίπεδο , καμπύλης:
Ο ζητούμενος όγκος δίνεται από τον τύπο:
Όμως είναι:
και
Έτσι ο τύπος (2) από τους (3) και (4) γίνεται:
και τελικά:
Όμως από τον αναγωγικό τύπο:
ο οποίος για γίνεται:
Έτσι από την (6), η σχέση (5) τελικά γίνεται:
(Συνεχίζεται...)
Κώστας Δόρτσιος
Re: Εμβαδόν, όγκος & τριπλό ολοκλήρωμα
grigkost έγραψε: ↑Πέμ Μαρ 25, 2021 2:34 pmΣτον περιστρέφουμε την παραμετρική καμπύλη , γύρω από τον -άξονα και έτσι παράγεται μια επιφάνεια .
- Να υπολογισθεί το εμβαδόν της επιφάνειας .
- Να υπολογισθεί ο όγκος του στερεού που περικλείεται από την επιφάνεια .
- Αν είναι η επιφάνεια που προκύπτει από την περιστροφή της παραμετρικής καμπύλης , γύρω από τον -άξονα και το στερεό που περικλείεται από την επιφάνεια και τα επίπεδα και , να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα .
(Συνέχεια...)
iii) Υπολογισμός του τριπλού ολοκληρώματος
Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:
Το στερεό αυτό περιβάλλεται από μια κυρτή επιφάνεια και δύο κυκλικούς δίσκους με κέντρα και
ακτίνες τα τμήματα αντίστοιχα.
Η κυρτή επιφάνεια έχει εξίσωση:
και η οποία προκύπτει από την περιστροφή της δοθείσας καμπύλης γύρω από τον άξονα των κατά γωνία ίση με .
Το στερεό που περιβάλλεται από τις τρεις αυτές επιφάνειες περιέχει τα σημεία τα οποία έχουν συντεταγμένες:
Η Ιακωβιανή αυτού του μετασχηματισμού είναι:
Έτσι ο νέος τόπος ολοκλήρωσης είναι:
Ύστερα από αυτά το ζητούμενο ολοκλήρωμα γίνεται:
Σημείωση:
Για τον υπολογισμό χρησιμοποιήθηκε ο αναδρομικό τύπος:
Κώστας Δόρτσιος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες