Εμβαδόν, όγκος & τριπλό ολοκλήρωμα

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2909
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα
Επικοινωνία:

Εμβαδόν, όγκος & τριπλό ολοκλήρωμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Πέμ Μαρ 25, 2021 2:34 pm

Στον {\mathbb{R}}^3 περιστρέφουμε την παραμετρική καμπύλη \overline{c}(t)=\big(t-\tanh{t},0,\frac{1}{\cosh{t}}\big)\,, \; t\in{\mathbb{R}}, γύρω από τον x-άξονα και έτσι παράγεται μια επιφάνεια S.
  1. Να υπολογισθεί το εμβαδόν της επιφάνειας S.
  2. Να υπολογισθεί ο όγκος του στερεού \Sigma που περικλείεται από την επιφάνεια S.
  3. Αν S_1 είναι η επιφάνεια που προκύπτει από την περιστροφή της παραμετρικής καμπύλης \overline{c}_1(t)=\big(t-\tanh{t},0,\frac{1}{\cosh{t}}\big)\,, \; t\in[{0,\log2}], γύρω από τον x-άξονα και \Sigma_1 το στερεό που περικλείεται από την επιφάνεια S_1 και τα επίπεδα x=0 και x=\log2, να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα \iiint_{\Sigma_1}y^2+z^2\,d(x,y,z).


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma

Λέξεις Κλειδιά:
KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 2078
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Εμβαδόν, όγκος & τριπλό ολοκλήρωμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Σάβ Μαρ 27, 2021 11:00 am

grigkost έγραψε:
Πέμ Μαρ 25, 2021 2:34 pm
Στον {\mathbb{R}}^3 περιστρέφουμε την παραμετρική καμπύλη \overline{c}(t)=\big(t-\tanh{t},0,\frac{1}{\cosh{t}}\big)\,, \; t\in{\mathbb{R}}, γύρω από τον x-άξονα και έτσι παράγεται μια επιφάνεια S.
  1. Να υπολογισθεί το εμβαδόν της επιφάνειας S.
  2. Να υπολογισθεί ο όγκος του στερεού \Sigma που περικλείεται από την επιφάνεια S.
  3. Αν S_1 είναι η επιφάνεια που προκύπτει από την περιστροφή της παραμετρικής καμπύλης \overline{c}_1(t)=\big(t-\tanh{t},0,\frac{1}{\cosh{t}}\big)\,, \; t\in[{0,\log2}], γύρω από τον x-άξονα και \Sigma_1 το στερεό που περικλείεται από την επιφάνεια S_1 και τα επίπεδα x=0 και x=\log2, να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα \iiint_{\Sigma_1}y^2+z^2\,d(x,y,z).
Γρηγόρη καλημέρα από τα ηλιόλουστα Γρεβενά...

Κατ' αρχήν σχεδιάζουμε την παραμετρική αυτή καμπύλη.
Έτσι έχουμε το ακόλουθο σχήμα:
Εμβαδόν, όγκος και τριπλό ολοκλήρωμα 1.png
Εμβαδόν, όγκος και τριπλό ολοκλήρωμα 1.png (15.97 KiB) Προβλήθηκε 300 φορές
Η παραμετρική αυτή καμπύλη ορίζεται, σύμφωνα με την εκφώνηση, από τη σχέση:

\displaystyle{\bar{c(t)}=(t-tanh(t),0,\frac{1}{cosh(t)}), \  \ t \in R \  \ (1)}

ή αλλιώς:

\displaystyle{\bar{c(t)}=\begin{pmatrix} t-tanh(t) \\ 0 \\  \displaystyle\frac{1}{cosh(t)} \end{pmatrix}, \  \ t \in R \  \ (2)}

Από την εξίσωση αυτή της καμπύλης \displaystyle{(c)} μπορούμε να βρούμε την παραμετρική εξίσωση της επιφάνειας εκείνης

η οποία δημιουργείται από την περιστροφή αυτής κατά τον άξονα των \displaystyle{x'Ox} κατά γωνία ίση με \displaystyle{2\pi}.

Αυτό γίνεται αν πολλαπλασιάσουμε την μορφή του διανύσματος - στήλη της (2) με τον πίνακα στροφής

περί τον άξονα των τετμημένων ο οποίος είναι:

\displaystyle{ R_1(\theta)=\begin{pmatrix} 1&0&0\\0& cos(\theta)& -sin(\theta)\\ 0&  \sin(\theta)& cos(\theta) \end{pmatrix}, \theta \in [0,2\pi], \  \ (3) }

Έτσι το γινόμενο:

\displaystyle{S(\theta, t)=R_1(\theta) \cdot (\bar{c}) = \begin{pmatrix} t-tanh(t) \\ \displaystyle \frac{-sin(\theta)}{cosh(t)} \\ \displaystyle \frac{cos(\theta)}{cosh(t) \end{pmatrix}, \  \ \theta \in [0,2\pi], \  \ t \in R \  \  (4) }

είναι η εξίσωση της ζητούμενης επιφάνειας η οποία φαίνεται στα κατωτέρω σχήματα:

Εμβαδόν, όγκος και τριπλό ολοκλήρωμα 2.png
Εμβαδόν, όγκος και τριπλό ολοκλήρωμα 2.png (63.13 KiB) Προβλήθηκε 300 φορές
Το σχήμα αυτό αντιστοιχεί για κάποια γωνία μικρότερη των \displaystyle{2\pi}.

Εμβαδόν, όγκος και τριπλό ολοκλήρωμα 3.png
Εμβαδόν, όγκος και τριπλό ολοκλήρωμα 3.png (59.7 KiB) Προβλήθηκε 300 φορές
Το σχήμα αυτό εμφανίζει την επιφάνεια αυτή για γωνία ίση με \displaystyle{2\pi}.

(Συνεχίζεται...)

Κώστας Δόρτσιος


KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 2078
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Εμβαδόν, όγκος & τριπλό ολοκλήρωμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Πέμ Απρ 08, 2021 7:36 pm

grigkost έγραψε:
Πέμ Μαρ 25, 2021 2:34 pm
Στον {\mathbb{R}}^3 περιστρέφουμε την παραμετρική καμπύλη \overline{c}(t)=\big(t-\tanh{t},0,\frac{1}{\cosh{t}}\big)\,, \; t\in{\mathbb{R}}, γύρω από τον x-άξονα και έτσι παράγεται μια επιφάνεια S.
  1. Να υπολογισθεί το εμβαδόν της επιφάνειας S.
  2. Να υπολογισθεί ο όγκος του στερεού \Sigma που περικλείεται από την επιφάνεια S.
  3. Αν S_1 είναι η επιφάνεια που προκύπτει από την περιστροφή της παραμετρικής καμπύλης \overline{c}_1(t)=\big(t-\tanh{t},0,\frac{1}{\cosh{t}}\big)\,, \; t\in[{0,\log2}], γύρω από τον x-άξονα και \Sigma_1 το στερεό που περικλείεται από την επιφάνεια S_1 και τα επίπεδα x=0 και x=\log2, να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα \iiint_{\Sigma_1}y^2+z^2\,d(x,y,z).
(Συνέχεια...)

Επιστρέφουμε πάλι στη δοθείσα καμπύλη που έχει εξίσωση:

\displaystyle{\bar{c(t)}=\begin{pmatrix}t-tanh(t)\\0\\\ \displaystyle \frac{1}{cosh(t)} \end{pmatrix}, \  \ t \in R \ \ (1)  }

και έχει την ακόλουθη μορφή:


Εμβαδόν, όγκος και τριπλό ολοκλήρωμα 1.png
Εμβαδόν, όγκος και τριπλό ολοκλήρωμα 1.png (15.97 KiB) Προβλήθηκε 219 φορές
Το εμβαδόν της παραγόμενης επιφάνειας από την περιστροφή αυτής γύρω από τον άξονα \displaystyle{Ox} κατά γωνία

ίση με \displaystyle{2 \pi} δίνεται από τον τύπο:

\displaystyle{S=2\pi \int_{-\propto}^{\propto} z(t)\cdot\sqrt{(x'(t))^2+(z'(t))^2} dt \  \ (2)}

Η σχέση (2) λόγω της (1) και μετά πράξεις καταλήγει:

\displaystyle{S=4 \pi \int_{0}^{\propto} \frac{1}{cosh(t)} \sqrt{(1-\frac{1}{cosh^2(t)})^2+(-\frac{sinh(t)}{cosh^2(t)})^2} dt  }

κι ακόμα:

\displaystyle{S=4 \pi \int_{0}^{\propto} \frac{1}{cosh(t)} \sqrt{(\frac{sinh^2(t)}{cosh^2(t)})^2+(-\frac{sinh(t)}{cosh^2(t)})^2} dt  }

\displaystyle{\Rightarrow S=4\pi \int_{0}^{\propto} \frac{1}{cosh^3(t)} \cdot sinh(t) \sqrt{sinh^2(t)+1} dt}

\displaystyle{\Rightarrow S=4\pi \int_{0}^{\propto} \frac{1}{cosh^3(t)} \cdot sinh(t) cosh(t) dt}

\displaystyle{\Rightarrow S=4\pi \int_{0}^{\propto} \frac{sinh(t)}{cosh^2(t)} dt}

\displaystyle{\Rightarrow S=4\pi \int_{0}^{\propto} \frac{d(cosh(t))}{cosh^2(t)}}

\displaystyle{\Rightarrow S=4\pi \int_{0}^{\propto} d(-\frac{1}{cosh(t)})}

\displaystyle{\Rightarrow S=4\pi (-\frac{1}{cosh(t)}) \right|_{0}^{\propto} =...=4\pi }

Σημείωση:
Η διόρθωση του "ημαρτημένου τύπου" έγινε ύστερα από προσωπικό μήνυμα του φίλου μου
Γρηγόρη Κωστάκου τον οποίο και ευχαριστώ.
Κι ακόμα:
Η διόρθωση του τύπου έδωσε απλούστερο ολοκλήρωμα το οποίο και υπολόγισα χωρίς
τη χρήση του λογισμικού.


(Συνεχίζεται...)

Κώστας Δόρτσιος


KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 2078
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Εμβαδόν, όγκος & τριπλό ολοκλήρωμα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Κυρ Απρ 18, 2021 10:53 am

grigkost έγραψε:
Πέμ Μαρ 25, 2021 2:34 pm
Στον {\mathbb{R}}^3 περιστρέφουμε την παραμετρική καμπύλη \overline{c}(t)=\big(t-\tanh{t},0,\frac{1}{\cosh{t}}\big)\,, \; t\in{\mathbb{R}}, γύρω από τον x-άξονα και έτσι παράγεται μια επιφάνεια S.
  1. Να υπολογισθεί το εμβαδόν της επιφάνειας S.
  2. Να υπολογισθεί ο όγκος του στερεού \Sigma που περικλείεται από την επιφάνεια S.
  3. Αν S_1 είναι η επιφάνεια που προκύπτει από την περιστροφή της παραμετρικής καμπύλης \overline{c}_1(t)=\big(t-\tanh{t},0,\frac{1}{\cosh{t}}\big)\,, \; t\in[{0,\log2}], γύρω από τον x-άξονα και \Sigma_1 το στερεό που περικλείεται από την επιφάνεια S_1 και τα επίπεδα x=0 και x=\log2, να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα \iiint_{\Sigma_1}y^2+z^2\,d(x,y,z).
(Συνέχεια...)

ii) Υπολογισμός όγκου του στερεού \displaystyle{\Sigma } που περικλείεται από την επιφάνεια \displaystyle{S}.

Το εν λόγω σχήμα είναι το ακόλουθο, όπως αναφέρθηκε και σε προηγούμενη ανάρτηση:
Εμβαδόν, όγκος και τριπλό ολοκλήρωμα 5.png
Εμβαδόν, όγκος και τριπλό ολοκλήρωμα 5.png (33.61 KiB) Προβλήθηκε 66 φορές
Το στερεό αυτό είναι ένα στερεό εκ περιστροφής γύρω από τον άξονα \displaystyle{x'x} κατά γωνία ίση με \displaystyle{2 \pi}
της, επίπεδης στο επίπεδο \displaystyle{xOz}, καμπύλης:

\displaystyle{ \displaystyle \bar{c(t)}=\begin{pmatrix} t-tanh(t) \\ 0 \\ \displaystyle  \frac{1}{cosh(t)} \end{pmatrix}, \  \ t \in R, \  \ (1)  }

Ο ζητούμενος όγκος δίνεται από τον τύπο:

\displaystyle{V=\pi \int_{-\propto}^{\propto} z^2(t) \cdot x'(t)dt =2 \pi \int_{0}^{\propto} z^2(t) \cdot x'(t)dt \  \ (2) }

Όμως είναι:

\displaystyle{z^2(t)=\frac{1}{cosh^2(t)}=1-tanh^2(t) \  \  (3) }

και

\displaystyle{x'(t)=1-\frac{1}{cosh^2(t)}=tanh^2(t) \  \ (4) }

Έτσι ο τύπος (2) από τους (3) και (4) γίνεται:

\displaystyle{V=2 \pi \int_{0}^{\propto} z^2(t) \cdot x'(t)dt=2 \pi \int_{0}^{\propto} (1-tanh^2(t))tanh^2(t) dt=2 \pi \int_{0}^{\propto}(tanh^2(t)-tanh^4(t))dt}

και τελικά:

\displaystyle{V=2 \pi \int_{0}^{\propto}tanh^2(t)dt -2 \pi \int_{0}^{\propto}tanh^4(t)dt \  \ (5) }

Όμως από τον αναγωγικό τύπο:

\displaystyle{ \int tanh^n(x)dx=-\frac{tanh^{n-1}(x)}{n-1}+\int tanh^{n-2}(x)dx }

ο οποίος για \displaystyle{n=4} γίνεται:

\displaystyle{ \int tanh^4(x)dx=-\frac{tanh^{3}(x)}{3}+\int tanh^{2}(x)dχ \  \ (6) }

Έτσι από την (6), η σχέση (5) τελικά γίνεται:

\displaystyle{V=2 \pi \left. \begin{matrix} \displaystyle \frac{tanh^3(t)}{3} \end{matrix} \right|_{0}^{\propto} =...= \frac{2 \pi}{3} \  \ (7) }

(Συνεχίζεται...)


Κώστας Δόρτσιος


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες