Ασκησεις πραγματικης αναλυσης:
Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος
Ασκησεις πραγματικης αναλυσης:
1)αν (Χ,ρ) μ.χ. με την ιδιότητα κάθε αριθμήσιμο F υποσύνολο του Χ είναι κλειστό, τότε η ρ είναι ισοδύναμη της διακριτής μετρικής δ.
2)η αριθμήσιμη τομή Fσ συνόλων είναι Fσ;
2)η αριθμήσιμη τομή Fσ συνόλων είναι Fσ;
Λέξεις Κλειδιά:
- nsmavrogiannis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4455
- Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: Ασκησεις πραγματικης αναλυσης:
Mία ιδέα για το (1).
Aς ονομάσουμε την διακριτική τοπολογία και την τοπολογία της μετρικής . Θέλουμε . Προφανώς . 'Εστω τώρα ένα οποιοδήποτε στοιχείο της , Θα δείξουμε ότι είναι και -ανοικτό. Θεωρούμε στοιχείο του . Θα δείξουμε ότι υπάρχει σφαίρα που περιέχεται στο . Θεωρούμε όλες τις σφαίρες . Αν ο ισχυρισμός δεν αληθεύει κάθε μία θα περιέχει στοιχείο εκτός του . H ακολουθία συγκλίνει στο και επειδή το σύνολο είναι κλειστό θα πρέπει να περιέχει το δηλαδή το δεν θα ανήκει στο (άτοπο). Τελικά το ανήκει στο δηλαδή οπότε .
Μαυρογιάννης
Aς ονομάσουμε την διακριτική τοπολογία και την τοπολογία της μετρικής . Θέλουμε . Προφανώς . 'Εστω τώρα ένα οποιοδήποτε στοιχείο της , Θα δείξουμε ότι είναι και -ανοικτό. Θεωρούμε στοιχείο του . Θα δείξουμε ότι υπάρχει σφαίρα που περιέχεται στο . Θεωρούμε όλες τις σφαίρες . Αν ο ισχυρισμός δεν αληθεύει κάθε μία θα περιέχει στοιχείο εκτός του . H ακολουθία συγκλίνει στο και επειδή το σύνολο είναι κλειστό θα πρέπει να περιέχει το δηλαδή το δεν θα ανήκει στο (άτοπο). Τελικά το ανήκει στο δηλαδή οπότε .
Μαυρογιάννης
Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Ηράκλειτος
- nsmavrogiannis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4455
- Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: Ασκησεις πραγματικης αναλυσης:
Kαι μία για το 2)
Αν είναι μία οικογένεια τότε το καθένα είναι αριθμήσιμη ένωση κλειστών συνόλων . Είναι και το τελευταίο σύνολο είναι επίσης αφού είναι αριθμήσιμη ένωση των κλειστών συνόλων .
Μαυρογιάννης
Αν είναι μία οικογένεια τότε το καθένα είναι αριθμήσιμη ένωση κλειστών συνόλων . Είναι και το τελευταίο σύνολο είναι επίσης αφού είναι αριθμήσιμη ένωση των κλειστών συνόλων .
Μαυρογιάννης
Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Ηράκλειτος
Re: Ασκησεις πραγματικης αναλυσης:
thanksnsmavrogiannis έγραψε:Kαι μία για το 2)
Αν είναι μία οικογένεια τότε το καθένα είναι αριθμήσιμη ένωση κλειστών συνόλων . Είναι και το τελευταίο σύνολο είναι επίσης αφού είναι αριθμήσιμη ένωση των κλειστών συνόλων .
Μαυρογιάννης
Re: Ασκησεις πραγματικης αναλυσης:
δεν εχω ελεγξει λεπτομερως την ιδεα μου για το (1) αλλα παει καπως ετσι.
για να δειξουμε οτι η μετρικη ειναι ισοδυναμη με τη διακριτη αρκει να δειξουμε οτι τα μονοσυνολα ειναι ανοιχτα.
υποθετουμε οτι υπαρχει καποιο μονοσυνολο που δεν ειναι ανοιχτο εστω το {χ}.τοτε η σφαιρα κεντρου χ και οποιασδηποτε ακτινας δεν περιεγχει μονο το χ αλλα και αλλα στοιχεια.ετσι βρισκουμε στοιχεια y_n εν S(x,1/n) για καθε n με y_n διαφορο του x για καθε n.ειναι προφανες τωρα οτι η y_n συγκλινει στο χ και αρα το χ βρισκεται στην κλειστη θηκη ολων των y_n.ομως το συνολο ολων των y_n ειναι αριθμησιμο οποτε λογω της υποθεσης ισουται με τη θηκη του.αρα το χ ειναι ορος της ακολουθιας,ατοπο!
για να δειξουμε οτι η μετρικη ειναι ισοδυναμη με τη διακριτη αρκει να δειξουμε οτι τα μονοσυνολα ειναι ανοιχτα.
υποθετουμε οτι υπαρχει καποιο μονοσυνολο που δεν ειναι ανοιχτο εστω το {χ}.τοτε η σφαιρα κεντρου χ και οποιασδηποτε ακτινας δεν περιεγχει μονο το χ αλλα και αλλα στοιχεια.ετσι βρισκουμε στοιχεια y_n εν S(x,1/n) για καθε n με y_n διαφορο του x για καθε n.ειναι προφανες τωρα οτι η y_n συγκλινει στο χ και αρα το χ βρισκεται στην κλειστη θηκη ολων των y_n.ομως το συνολο ολων των y_n ειναι αριθμησιμο οποτε λογω της υποθεσης ισουται με τη θηκη του.αρα το χ ειναι ορος της ακολουθιας,ατοπο!
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 10 επισκέπτες