συμπαγές σύνολο

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

dopfev
Δημοσιεύσεις: 104
Εγγραφή: Τρί Νοέμ 29, 2011 5:59 pm

συμπαγές σύνολο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dopfev » Τετ Φεβ 10, 2021 10:51 am

Καλημέρα σας,
το σύνολο \displaystyle{A=\left \{ \left ( \frac{1}{n^{2}},\frac{n+1}{3n} \right ):n\in \mathbb{N} \right \}} είναι συμπαγές υποσύνολο του \displaystyle{\left ( \mathbb{R}^{2},d_{2} \right )};
τελευταία επεξεργασία από dopfev σε Τετ Φεβ 10, 2021 10:13 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13501
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: συμπαγές σύνολο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Φεβ 10, 2021 12:02 pm

dopfev έγραψε:
Τετ Φεβ 10, 2021 10:51 am
Καλημέρα σας,
το σύνολο \displaystyle{A_{n}=\left \{ \left ( \frac{1}{n^{2}},\frac{n+1}{3n}:n\in \mathbb{N} \right ) \right \}} είναι συμπαγές υποσύνολο του \displaystyle{\left ( \mathbb{R}^{2},d_{2} \right )};
Δεν καταλαβαίνω τον συμβολισμό, πιθανότατα γιατί υπάρχει τυπογραφικό σφάλμα. Δυο είναι τα προβλήματα με τον συμβολισμό.

α) Δεν ξέρω τι είναι το \left ( \frac{1}{n^{2}},\frac{n+1}{3n}:n\in \mathbb{N}  \right ).

Υποθέτω ότι το \displaystyle{n\in \mathbb{N}} πρέπει να είναι έξω από το \displaystyle{\left ( \frac{1}{n^{2}},\frac{n+1}{3n} \right )}.

Αλλά εκεί μπαίνει το δεύτερο πρόβλημα γιατί πρώτον δεν μπορεί να υπάρχει δείκτης n στο A_n και το ίδιο αυτό n να είναι μεταβλητό μέσα στο σύνολο. Δεύτερον, όπως και αν το δούμε, το A_n περιγράφεται ως ένα σύνολο διαστημάτων, αλλά τότε δεν είναι υποσύνολο του \displaystyle{\left ( \mathbb{R}^{2},d_{2} \right )} που δηλώνει το δεύτερο μέρος της εκφώνησης.

Για να πω την αλήθεια μαντεύω ποια είναι η σωστή διατύπωση, αλλά προτιμώ να το δω γραμμένο πριν απαντήσω.

Αυτό που νομίζω ότι είναι η σωστή εκφώνηση έχει απάντηση "όχι" γιατί τα \displaystyle{\left ( \frac{1}{n^{2}},\frac{n+1}{3n} \right )} δεν είναι κλειστά. Εν αναμονή λοιπόν.
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Τετ Φεβ 10, 2021 12:11 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2922
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα
Επικοινωνία:

Re: συμπαγές σύνολο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Τετ Φεβ 10, 2021 12:03 pm

Υπάρχουν ασάφειες στην διατύπωση του ερωτήματος:

1) Έτσι όπως διατυπώνεται μπορεί να ερμηνευτεί ότι, για κάθε :n\in \mathbb{N}, να εξετασθεί η συμπάγεια του μονοστοιχειακού(;) συνόλου \displaystyle{A_{n}=\left \{ \left ( \frac{1}{n^{2}},\frac{n+1}{3n} \right ) \right \}, n\in \mathbb{N}.

2) Αν πρόκειται για το αριθμήσιμο σύνολο \displaystyle{A=\left \{ \left ( \frac{1}{n^{2}},\frac{n+1}{3n} \right ):n\in \mathbb{N} \right \}}, τότε αρκεί η πρόταση: "Αν ένα σύνολο A του  \mathbb{R}^2 είναι συμπαγές, τότε για κάθε συγκλίνουσα ακολουθία σημείων του A το όριο της ακολουθίας είναι, επίσης, στοιχείο του A. "

Ποιο είναι το όριο της ακολουθίας  \left ( \frac{1}{n^{2}},\frac{n+1}{3n} \right )_{n\in \mathbb{N}} ; Ανήκει αυτό το όριο στο A ;



edit:20:03. Διορθώθηκε η πρόταση. Η σύγκλιση "μέσα" στο A μιας συγκλίνουσας ακολουθίας του A είναι αναγκαία, αλλά όχι και ικανή συνθήκη για να είναι το A συμπαγές.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
dopfev
Δημοσιεύσεις: 104
Εγγραφή: Τρί Νοέμ 29, 2011 5:59 pm

Re: συμπαγές σύνολο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dopfev » Τετ Φεβ 10, 2021 10:20 pm

Σας ευχαριστώ πολύ για τις άμεσες απαντήσεις και χίλια συγνώμη, έκανα 2 τυπογραφικά. Τα έχω διορθώσει στο αρχικό post. Η εκφώνηση του θέματος είναι ακριβώς όπως την έχω παραπάνω. Άρα εννοεί ότι το δοθέν σύνολο είναι μια ακολουθία σημείων στον \displaystyle{\mathbb{R}^{2}}; Και πώς μπορώ να αποφανθώ για τη συμπάγεια του συνόλου; Αν θεωρήσουμε ότι ο θεματοδότης όντως εννοεί αυτήν την ακολουθία σημείων, το όριό της είναι το σημείο \displaystyle{\left ( 0,\frac{1}{3} \right )}; Και τι μ' αυτό;


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13501
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: συμπαγές σύνολο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Φεβ 10, 2021 11:47 pm

dopfev έγραψε:
Τετ Φεβ 10, 2021 10:51 am
Καλημέρα σας,
το σύνολο \displaystyle{A=\left \{ \left ( \frac{1}{n^{2}},\frac{n+1}{3n} \right ):n\in \mathbb{N} \right \}} είναι συμπαγές υποσύνολο του \displaystyle{\left ( \mathbb{R}^{2},d_{2} \right )};
H ακολουθία έχει όριο \displaystyle{\left (0,\, \frac {1}{3} \right )} που δεν είναι στοιχείο του συνόλου. Δηλαδή το σύνολο δεν είναι κλειστό, οπότε (πόσο μάλλον) δεν είναι συμπαγές.

Υπενθυμίζω ότι τα συμπαγή υποσύνολα του \mathbb R^n είναι ακριβώς τα κλειστά και φραγμένα. Το παραπάνω είναι μεν φραγμένο, αλλά όχι κλειστό.


dopfev
Δημοσιεύσεις: 104
Εγγραφή: Τρί Νοέμ 29, 2011 5:59 pm

Re: συμπαγές σύνολο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dopfev » Πέμ Φεβ 11, 2021 12:02 am

Πολύ σωστά κ.Λάμπρου σας ευχαριστώ πολύ! Προφανές!


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης