συμπαγές σύνολο

dopfev · #1

Καλημέρα σας,
το σύνολο $\displaystyle{A=\left \{ \left ( \frac{1}{n^{2}},\frac{n+1}{3n} \right ):n\in \mathbb{N} \right \}}$ είναι συμπαγές υποσύνολο του $\displaystyle{\left ( \mathbb{R}^{2},d_{2} \right )}$ ;

#2

dopfev έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 10, 2021 10:51 am
Καλημέρα σας,
το σύνολο $\displaystyle{A_{n}=\left \{ \left ( \frac{1}{n^{2}},\frac{n+1}{3n}:n\in \mathbb{N} \right ) \right \}}$ είναι συμπαγές υποσύνολο του $\displaystyle{\left ( \mathbb{R}^{2},d_{2} \right )}$ ;

Δεν καταλαβαίνω τον συμβολισμό, πιθανότατα γιατί υπάρχει τυπογραφικό σφάλμα. Δυο είναι τα προβλήματα με τον συμβολισμό.

α) Δεν ξέρω τι είναι το $\left ( \frac{1}{n^{2}},\frac{n+1}{3n}:n\in \mathbb{N} \right )$ .

Υποθέτω ότι το $\displaystyle{n\in \mathbb{N}}$ πρέπει να είναι έξω από το $\displaystyle{\left ( \frac{1}{n^{2}},\frac{n+1}{3n} \right )}$ .

Αλλά εκεί μπαίνει το δεύτερο πρόβλημα γιατί πρώτον δεν μπορεί να υπάρχει δείκτης

στο

και το ίδιο αυτό

να είναι μεταβλητό μέσα στο σύνολο. Δεύτερον, όπως και αν το δούμε, το A_n

περιγράφεται ως ένα σύνολο διαστημάτων, αλλά τότε δεν είναι υποσύνολο του $\displaystyle{\left ( \mathbb{R}^{2},d_{2} \right )}$ που δηλώνει το δεύτερο μέρος της εκφώνησης.

Για να πω την αλήθεια μαντεύω ποια είναι η σωστή διατύπωση, αλλά προτιμώ να το δω γραμμένο πριν απαντήσω.

Αυτό που νομίζω ότι είναι η σωστή εκφώνηση έχει απάντηση "όχι" γιατί τα $\displaystyle{\left ( \frac{1}{n^{2}},\frac{n+1}{3n} \right )}$ δεν είναι κλειστά. Εν αναμονή λοιπόν.

#3

Υπάρχουν ασάφειες στην διατύπωση του ερωτήματος:

1) Έτσι όπως διατυπώνεται μπορεί να ερμηνευτεί ότι, για κάθε $:n\in \mathbb{N}$ , να εξετασθεί η συμπάγεια του μονοστοιχειακού(;) συνόλου $\displaystyle{A_{n}=\left \{ \left ( \frac{1}{n^{2}},\frac{n+1}{3n} \right ) \right \}, n\in \mathbb{N}$ .

2) Αν πρόκειται για το αριθμήσιμο σύνολο $\displaystyle{A=\left \{ \left ( \frac{1}{n^{2}},\frac{n+1}{3n} \right ):n\in \mathbb{N} \right \}}$ , τότε αρκεί η πρόταση: "Αν ένα σύνολο

του $\mathbb{R}^2$ είναι συμπαγές, τότε για κάθε συγκλίνουσα ακολουθία σημείων του

το όριο της ακολουθίας είναι, επίσης, στοιχείο του

. "

Ποιο είναι το όριο της ακολουθίας $\left ( \frac{1}{n^{2}},\frac{n+1}{3n} \right )_{n\in \mathbb{N}}$ ; Ανήκει αυτό το όριο στο

;

edit:20:03. Διορθώθηκε η πρόταση. Η σύγκλιση "μέσα" στο

μιας συγκλίνουσας ακολουθίας του

είναι αναγκαία, αλλά όχι και ικανή συνθήκη για να είναι το

συμπαγές.

dopfev · #4

Σας ευχαριστώ πολύ για τις άμεσες απαντήσεις και χίλια συγνώμη, έκανα 2 τυπογραφικά. Τα έχω διορθώσει στο αρχικό post. Η εκφώνηση του θέματος είναι ακριβώς όπως την έχω παραπάνω. Άρα εννοεί ότι το δοθέν σύνολο είναι μια ακολουθία σημείων στον $\displaystyle{\mathbb{R}^{2}}$ ; Και πώς μπορώ να αποφανθώ για τη συμπάγεια του συνόλου; Αν θεωρήσουμε ότι ο θεματοδότης όντως εννοεί αυτήν την ακολουθία σημείων, το όριό της είναι το σημείο $\displaystyle{\left ( 0,\frac{1}{3} \right )}$ ; Και τι μ' αυτό;

#5

dopfev έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 10, 2021 10:51 am
Καλημέρα σας,
το σύνολο $\displaystyle{A=\left \{ \left ( \frac{1}{n^{2}},\frac{n+1}{3n} \right ):n\in \mathbb{N} \right \}}$ είναι συμπαγές υποσύνολο του $\displaystyle{\left ( \mathbb{R}^{2},d_{2} \right )}$ ;

H ακολουθία έχει όριο $\displaystyle{\left (0,\, \frac {1}{3} \right )}$ που δεν είναι στοιχείο του συνόλου. Δηλαδή το σύνολο δεν είναι κλειστό, οπότε (πόσο μάλλον) δεν είναι συμπαγές.

Υπενθυμίζω ότι τα συμπαγή υποσύνολα του $\mathbb R^n$ είναι ακριβώς τα κλειστά και φραγμένα. Το παραπάνω είναι μεν φραγμένο, αλλά όχι κλειστό.

dopfev · #6

Πολύ σωστά κ.Λάμπρου σας ευχαριστώ πολύ! Προφανές!

συμπαγές σύνολο

συμπαγές σύνολο

Re: συμπαγές σύνολο

Re: συμπαγές σύνολο

Re: συμπαγές σύνολο

Re: συμπαγές σύνολο

Re: συμπαγές σύνολο

Μέλη σε σύνδεση