Όριο

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4653
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Όριο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Ιαν 20, 2021 12:17 am

Έστω \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} ακολουθία τέτοια ώστε \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} a_k=\alpha \in \bar{\mathbb{R}}}. Να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{1}{\ln n}\sum_{k=1}^n\frac{a_k}{k}=\alpha}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13464
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Όριο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Ιαν 20, 2021 11:54 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Τετ Ιαν 20, 2021 12:17 am
Έστω \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} ακολουθία τέτοια ώστε \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} a_k=\alpha \in \bar{\mathbb{R}}}. Να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{1}{\ln n}\sum_{k=1}^n\frac{a_k}{k}=\alpha}
Ένα κύριο στοιχείο στην απόδειξη είναι το \displaystyle{\sum_{k=1}^n \dfrac {1}{k} \sim \ln n}.

α) Για \alpha \in \mathbb{R} .

Εξετάζοντας τα a_k-\alpha αν χρειαστεί, μπορούμε χωρίς βλάβη να υποθέσουμε ότι \alpha =0. Γράφουμε \displaystyle{s_n=\sum_{k=1}^n\dfrac{a_k}{k}}, οπότε η υπόθεσή μας είναι  \dfrac {s_n}{n} \to 0 .

Έστω \epsilon >0. Επιλέγουμε n_o τέτοιο ώστε για κάθε n\ge n_o ισχύει \left |  \dfrac {s_n}{n} \right |< \epsilon. Είναι τότε

\displaystyle{ \left |   \sum_{k=1}^n\frac{a_k}{k}   \right |= \left |  s_1+ \frac{s_2-s_{1}}{2}  +  \frac{s_3-s_{2}}{3}+...+  \frac{s_n-s_{n-1}}{n}   \right |= \left |\frac{s_1}{1\cdot 2} + \frac{s_2}{2\cdot 3}  +  \frac{s_3}{3\cdot 4}+...+  \frac{s_{n-1}}{(n-1) n}   +  \frac{s_{n}}{n}  \right |\le }

\displaystyle{\le  \sum_{k=1}^{n_o} \left |   \frac{s_k}{k(k+1)} \right |  +  \sum_{k=n_o+1}^{n-1} \left | \frac{s_k}{k(k+1)}  \right | + \left | \frac{s_{n}}{n}  \right |\le \sum_{k=1}^{n_o} \left |   \frac{s_k}{k(k+1)} \right |  +  \sum_{k=n_o+1}^{n-1}  \frac{\epsilon }{k+1}  + \epsilon \le }

\displaystyle{\le M_{n_o}  + \left (\sum_{k=1}^{n}  \frac{1}{k} \right ) \epsilon  + \epsilon}.

Άρα για μεγάλα n έχουμε

\displaystyle{ \left |  \frac{1}{\ln n} \sum_{k=1}^n\frac{a_k}{k}   \right | \le \dfrac {M_{n_o}}{\ln n}   +\left ( \dfrac {\sum_{k=1}^{n}  \frac{1}{k} }{\ln n }\right ) \epsilon + \dfrac { \epsilon }{\ln n} < \epsilon + 2 \epsilon + \epsilon = 4 \epsilon}

από όπου \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{1}{\ln n}\sum_{k=1}^n\frac{a_k}{k}=0}, όπως θέλαμε.

β) Για \alpha = \pm \infty κάνουμε ακριβώς την ίδια δουλειά αλλά για δοθέν M>0 αρχίζουμε με n_o για το οποίο  \left | \dfrac {s_n}{n} \right | > M όταν n\ge n_o.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4653
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Όριο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Ιαν 20, 2021 12:08 pm

Ας δούμε και αυτή τη "λύση"...

Εφόσον \displaystyle{\lim_{n\to + \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^na_k=\alpha} έχουμε από Stolz-Cesàro, \displaystyle{\lim_{n\to +\infty}a_n=\alpha} οπότε ξανά από Stolz-Cesàro είναι \displaystyle{\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{\ln n}\sum_{k=1}^n\frac{a_k}{k}=\lim_{n\to +\infty}a_n=\alpha}.

Να βρεθεί το λάθος.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13464
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Όριο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Ιαν 20, 2021 12:36 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τετ Ιαν 20, 2021 12:08 pm
Ας δούμε και αυτή τη "λύση"...

Εφόσον \displaystyle{\lim_{n\to + \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^na_k=\alpha} έχουμε από Stolz-Cesàro, \displaystyle{\lim_{n\to +\infty}a_n=\alpha} οπότε ξανά από Stolz-Cesàro είναι \displaystyle{\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{\ln n}\sum_{k=1}^n\frac{a_k}{k}=\lim_{n\to +\infty}a_n=\alpha}.

Να βρεθεί το λάθος.
Δεν ισχύει το " \displaystyle{\lim_{n\to + \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^na_k=\alpha} έχουμε από Stolz-Cesàro, \displaystyle{\lim_{n\to +\infty}a_n=\alpha} " . Για παράδειγμα αν a_k=(-1)^k τότε το αριστερό μέλος τείνει στο 0 αλλά το όριο στο δεξί, δεν υπάρχει.

Η αλήθεια είναι ότι δεν καταλαβαίνω το νόημα της ερώτησης αφού, τουλάχιστον σε επίπεδο Α.Ε.Ι. όπου το παρόν ποστ, πρέπει να ξεχωρίζουμε τα θεωρήματα από τα αντίστροφα.

Είναι σαν να ρωτάω που είναι το λάθος στον συλλογισμό "αφού 1+1=2= άρτιος έπεται ότι ο 1 είναι άρτιος" με βάση το θεώρημα ότι "άρτιος συν άρτιος ίσον άρτιος". Μακριά η βαλίτσα.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης